[论文解读] Growth Models Under Uniform Catastrophes

Joan Amaya, Valdivino V. Junior+2 more|arXiv (Cornell University)|Feb 6, 2026

Mathematical and Theoretical Epidemiology and Ecology Models被引用 0

一句话总结

该论文分析在均匀灾变下的殖民结构群体的随机增长模型，推导生存概率和平均灭绝时间（有 dispersion 与无 dispersion），并将均匀灾变与二项式与几何灾变进行比较。

ABSTRACT

We consider stochastic growth models for populations organized in colonies and subject to uniform catastrophes. To assess population viability, we analyze scenarios in which individuals adopt dispersion strategies after catastrophic events. For these models, we derive explicit expressions for the survival probability and the mean time to extinction, both with and without spatial constraints. In addition, we complement this analysis by comparing uniform catastrophes with binomial and geometric catastrophes in models with dispersion and no spatial restrictions. Here, the terms uniform, binomial and geometric refer to the probability distributions governing the number of individuals that survive immediately after a catastrophe. This comparison allows us to quantify the impact of different types of catastrophic events on population persistence.

研究动机与目标

• 研究在殖民结构下受灾变影响的随机人口增长的动机。
• 建立并分析包含均匀灾变的增长模型，涵盖分散/非分散情形及空间约束。
• 推导所提模型的明确生存概率与灭绝时间的平均值。
• 将均匀灾变与几何和二项灾变进行比较，以量化对持续性的影响。

提出的方法

• 将种群增长建模为发生率为 λ 的泊松过程（殖民地）；灾变以发生率为 1 的泊松过程发生。
• 定义三种增长模型：无分散（灾变后仅保留一个初始殖民地持续存在）、有空间约束的分散、以及无空间约束的分散。
• 计算均匀灾变后的幸存者 N 的分布；给出 P(N=n) 与 E(s^N)，且 E(N)=λ/2。
• 利用马尔可夫链/分支过程方法建立灭绝判据与平均灭绝时间，并对非分散情形应用 Foster 定理。
• 在分散且有空间约束的情况下，对 d=2、d=3 给出明确的灭绝概率公式 ψ_d 与 E[τ_d]。
• 在无空间约束的分散情形下将均匀灾变与几何和二项灾变进行比较，通过灭绝概率量化差异。

Figure 1. Comparison between extinction probabilities in models with uniform catastrophes and geometric catastrophes.

实验结果

研究问题

• RQ1 在均匀灾变下，存在与否的生存概率随灭绝时间的变化（有无分散的增长模型）是多少？
• RQ2 空间约束与网络结构（树的度数 d）如何影响在分散情形下的生存-灭绝转变？
• RQ3 在分散情形下，对于小 d（如 d=2、d=3）的树，确切的灭绝概率与平均灭绝时间是多少？
• RQ4 与分散无空间约束情形相比，分散对人口持存性在几何和二项灾变下的表现如何？
• RQ5 当环境趋向高维或无限制时，临界增长率 λ_d 的极限行为如何？

主要发现

• 分散对持续性有显著影响：无分散时，对所有 λ>0 都几乎必灭绝，且平均灭绝时间为有限。
• 在均匀树的分散下，生存当且仅当 (d^2/(d-1)) ln((λ+d)/d) < λ，出现 λ 与 d 的相变。
• 对于 d=2，当且仅当 4 ln(1+λ/2) < λ 时生存；ψ_2 给出显式表达，且在某些区间内推导出 E[τ_2]。
• 对于 d=3，当且仅当 (9/2) ln(1+λ/3) < λ 时生存，给出显式的 ψ_3 与 E[τ_3] 的公式。
• 无空间约束的分散情形下，生存当且仅当 λ>2，解得 ψ_* 通过方程 ln[1+λ(1-s)] = λs(1-s)，而 E[τ_*] 以积分表达式给出。
• 临界参数 λ_d 随 d 减小并收敛至 2（d→∞），表明高维环境趋近于无约束的分散。
• 与几何灾变相比，均匀灾变在灭绝概率方面更为严厉；与二项灾变相比，除某些参数区间（p<1/3）外，均匀灾变更为严重。

Figure 2. Comparison between extinction probabilities in models with uniform catastrophes and binomial catastrophes.