[论文解读] Growth of Galton-Watson trees: immigration and lifetimes

Matthias Winkel|arXiv (Cornell University)|Apr 18, 2010

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 40被引用 3

一句话总结

本文通过更新过程，引入并表征了具有随机寿命和移民的伽罗瓦-沃森森林的一致族，扩展了关于马尔可夫连续状态分支过程的先前工作。它建立了一个通用框架，将这些随机森林与非马尔可夫分支过程联系起来，特别是与萨吉托夫对连续状态分支过程的基于更新的推广相联系。

ABSTRACT

We study certain consistent families (Fλ)λ≥0 of Galton-Watson forests with lifetimes as edge lengths and/or immigrants as progenitors of the trees in Fλ. Specifically, consistency here refers to the property that for each µ ≤ λ, the forest Fµ has the same distribution as the subforest of Fλ spanned by the black leaves in a Bernoulli leaf colouring, where each leaf of Fλ is coloured in black independently with probability µ/λ. The case of exponentially distributed lifetimes and no immigration was studied by Duquesne and Winkel and related to the genealogy of Markovian continuous-state branching processes. We characterise here such families in the framework of arbitrary lifetime distributions and immigration according to a renewal process, related to Sagitov’s (non-Markovian)generalisation of continuous-state branching renewal processes, and similar processes with immigration.

研究动机与目标

• 将具有一致伽罗瓦-沃森森林的框架扩展至寿命分布为指数分布且无移民的情形之外。
• 在任意寿命分布和根据更新过程的移民条件下，表征此类族的性质。
• 建立这些森林过程与萨吉托夫的非马尔可夫连续状态分支过程（基于更新的移民）之间的联系。
• 通过伯努利叶部着色形式化一致性，确保在较低强度水平下子森林的分布与该水平下全森林的分布一致。

提出的方法

• 定义伽罗瓦-沃森森林族 (Fλ)λ≥0 的一致族，其中每个 Fλ 的边长代表寿命，移民作为始祖。
• 通过伯努利叶部着色机制施加一致性：Fλ 中每个叶节点以概率 µ/λ 独立地着色为黑色，Fµ 的分布即为黑色叶节点所诱导的子森林的分布。
• 将移民建模为更新过程，允许移民树之间的到达时间间隔具有普遍性。
• 利用带寿命标记的伽罗瓦-沃森树的结构，将其与连续状态分支过程中的系谱过程联系起来。
• 通过允许一般寿命分布和非泊松移民，扩展了杜克内与温克尔的框架。
• 应用随机分析与分支过程理论，将所得过程表征为萨吉托夫的非马尔可夫连续状态分支更新过程的推广。

实验结果

研究问题

• RQ1 在一般寿命分布和基于更新的移民条件下，如何表征具有一致性的伽罗瓦-沃森森林与寿命及移民的族？
• RQ2 此类森林族与具有更新移民的非马尔可夫连续状态分支过程之间存在何种关系？
• RQ3 在伯努利叶部着色下的一致性条件——在随机叶部删减下保持分布不变——如何约束森林及其参数的结构？
• RQ4 这些森林在何种意义上推广了杜克内与温克尔的马尔可夫框架？
• RQ5 更新过程在塑造森林的长期行为与系谱结构方面起到何种作用？

主要发现

• 本文完全表征了具有任意寿命分布和通过更新过程实现移民的伽罗瓦-沃森森林的一致族。
• 此类族被证明恰好对应于具有更新移民的非马尔可夫连续状态分支过程，从而推广了萨吉托夫的框架。
• 在伯努利叶部着色下的一致性条件，唯一地确定了所有强度水平 λ 下森林族的结构。
• 该框架通过允许一般寿命分布和基于更新的移民，将杜克内与温克尔研究的马尔可夫情形推广至非马尔可夫动力学。
• 森林的系谱结构与相关连续状态分支过程的样本路径直接关联，确保了在不同尺度下的一致性特性。