[论文解读] Growth of minimal word-length in Garside groups

Sagn Jin Lee|arXiv (Cornell University)|Nov 22, 2004

semigroups and automata theory参考文献 14被引用 3

一句话总结

本文通过构造无穷循环群 ℤ 与 Garside 群 G 的 n 重积 Gⁿ 的半直积 ℤ ⋉ Gⁿ，研究了 Garside 群中元素的最小字长增长问题，以分析群元素的根与幂。研究证明，幂的最小字长随指数线性增长，从而证明了平移数集合的离散性，并通过将根提取问题约化为 ℤ ⋉ Gⁿ 中的共轭问题，表明根提取问题是可判定的。

ABSTRACT

The Garside group, as a generalization of braid groups and Artin groups of finite types, is defined as the group of fractions of a Garside monoid. We show that the semidirect product of Garside monoids is a Garside monoid. We use the semidirect product Z ⋉ G n of the infinite cyclic group Z and the cartesian product G n of a Garside group G to study the properties of roots and powers of elements in G. The main result is an estimate of the growth of the minimal word-length of powers of elements in Garside groups, when the generating set is the set of simple elements. A direct application is that the set of translation numbers in Garside groups is discrete. It gives an affirmative answer to the question of Gersten and Short for the case of Garside groups. The original question is for biautomatic groups. And we show that the root extraction problem in a Garside group G can be reduced to a conjugacy problem in Z ⋉ G n. Using the algorithm for the conjugacy problem in Garside groups, the root extraction problem is decidable for any Garside group.

研究动机与目标

• 研究 Garside 群中元素幂的最小字长的增长行为。
• 确定 Garside 群中平移数集合是否离散，以回应 Gersten 和 Short 提出的问题。
• 将 Garside 群中的根提取问题约化为所构造的半直积 ℤ ⋉ Gⁿ 中的共轭问题。
• 利用已知的共轭问题算法，建立 Garside 群中根提取问题的可判定性。

提出的方法

• 构造无穷循环群 ℤ 与 Garside 群 G 的 n 重积 Gⁿ 的半直积 ℤ ⋉ Gⁿ。
• 利用 ℤ ⋉ Gⁿ 的 Garside 半群结构，分析 G 中根与幂的性质。
• 分析以简单元素集合为生成集时，G 中元素的最小字长。
• 通过群论结构技术，将 G 中的根提取问题约化为 ℤ ⋉ Gⁿ 中的共轭问题。
• 利用已知的 Garside 群共轭问题求解算法，解决根提取问题。

实验结果

研究问题

• RQ1 在以简单元素集合为生成集时，Garside 群中元素幂的最小字长如何随指数增长？
• RQ2 Garside 群中的平移数集合是否离散？
• RQ3 Garside 群中的根提取问题能否约化为一个已知的可判定问题？
• RQ4 Garside 群的哪些结构性质使其能够对根与幂进行有效分析？

主要发现

• 当以简单元素集合为生成集时，Garside 群中元素的 n 次幂的最小字长随 n 线性增长。
• Garside 群中的平移数集合是离散的，为 Gersten 和 Short 提出的问题在该类群中提供了肯定答案。
• Garside 群中的根提取问题是可判定的，因为其可约化为半直积 ℤ ⋉ Gⁿ 中的共轭问题。
• 半直积 ℤ ⋉ Gⁿ 继承了 Garside 半群结构，从而能够对群元素进行有效的算法分析。