[论文解读] Growth of $p$th means of analytic and subharmonic functions in the unit disc and angular distribution of zeros

Igor Chyzhykov|arXiv (Cornell University)|Sep 7, 2015

Holomorphic and Operator Theory参考文献 11被引用 6

一句话总结

本文通过引入受Grishin理论启发的完整测度框架，推广了经典关于单位圆盘中解析函数与次调和函数的$L^p$-均值增长结果。它建立了$\log|f|$的$p$次均值有界性与增长性的精确充分必要条件，基于角零点分布，将MacLane与Rubel关于$L^2$-有界性的研究扩展至$p \in (1,\infty)$的$L^p$-空间，适用于有限级函数。

ABSTRACT

Answering a question of A.Zygmund in \cite{MR} G.MacLane and L.Rubel described boundedness of $L_2$-norm w.r.t. the argument of $\log |B|$, where $B$ is a Blaschke product. We generalize their results in several directions. We describe growth of $p$th means, $p\in(1, \infty)$, of subharmonic functions bounded from above in the unit disc. Necessary and sufficient conditions are formulated in terms of the complete measure (of a subharmonic function) in the sense of A.Grishin. We also prove sharp estimates of the growth of $p$th means of analytic and subharmonic functions of finite order in the unit disc.

研究动机与目标

• 将MacLane与Rubel对Blaschke乘积的$\log|B|$的$L^2$-有界性刻画推广至$p \in (1,\infty)$的$L^p$-均值。
• 为决定解析函数与次调和函数的$\log|f|$的$p$次均值增长速率，提供关于零点角分布的显式几何条件。
• 将这些结果推广至单位圆盘中的有限级函数，提供精确的增长估计。
• 通过零点在边界附近的集中程度，建立次调和函数的完整测度与其$p$次均值增长之间的联系。

提出的方法

• 使用Grishin引入的单位圆盘中次调和函数的完整测度概念，刻画其增长行为。
• 定义$p$次均值$m_p(r,u) = \left(\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}|u(re^{i\theta})|^p d\theta\right)^{1/p}$与增长阶$\rho_p[u] = \limsup_{r\uparrow 1} \frac{\log^+ m_p(r,u)}{-\log(1-r)}$。
• 通过角扇形$\mathcal{C}(\varphi,\delta)$构建几何零点分布模型，量化边界附近零点的集中程度。
• 应用最大函数估计与 dyadic 分解技术，将零计数函数的$L^p$-范数与$m_p(r,\log|f|)$的增长联系起来。
• 通过与Poisson积分及最大函数的比较，推导出有界性与增长速率的必要充分条件。
• 使用测试函数与显式构造（例如$f(z) = \exp((1-z)^{-q-1})$）验证估计的精确性。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于单位圆盘中的解析函数，其角零点分布需满足何种必要与充分条件，才能保证$p$次均值$m_p(r, \log|f|)$有界？
• RQ2 对于上界有界的次调和函数，如何通过完整测度刻画$m_p(r, \log|f|)$的增长？
• RQ3 MacLane与Rubel关于$\log|B|$的$L^2$-有界性结果能否推广至$p \in (1,\infty)$的$L^p$-空间？在零点序列的何种几何条件下成立？
• RQ4 对于有限级解析函数，$m_p(r, \log|f|)$的精确增长速率为何？其与边界附近零点分布的关系如何？
• RQ5 $\psi_0$（与零点密度相关的函数）的$L^p$-可积性如何与$m_p(r, \log|B|)$的$L^p$-有界性相关？

主要发现

• 对于$p \in (1,\infty)$，$m_p(r, \log|B|)$在$[0,1)$上有界当且仅当$\psi_0 \in L^p(\partial\mathbb{D})$，其中$\psi_0(\zeta) = \sum_{|a_n| \geq 1} \frac{(1-|a_n|)^2}{|\zeta - a_n|^2}$。
• 对于有限级函数，$m_p(r, \log|f|)$的增长可通过零点的角集中程度精确估计：若$n(r,B) = O((1-r)^{-\alpha})$，则$m_p(r, \log|f|) \asymp (1-r)^{\frac{1}{p} - \alpha}$。
• 对于位于宽度为$\sim (1-r)^\gamma$的Stolz角内的零点，若$\gamma \geq 1$，则此类扇形中的零点数有界于$C(1-r)^{-\frac{1}{2}}$；若$\gamma < 1$，则有界于$C(1-r)^{-(1 - \frac{\gamma}{2})}$，与先前结果的精确性一致。
• 在适当的零点分布假设下，角扇形上完整测度$\lambda(\mathcal{C}(\varphi,\delta))$的$L^p$-范数满足$\left(\int_0^{2\pi} \lambda(\mathcal{C}(\varphi,\delta))^p d\varphi\right)^{1/p} \sim \delta^{1+s-\alpha}$，当$\delta \downarrow 0$时。
• 对于函数$f(z) = \exp\left(\left(\frac{1}{1-z}\right)^{q+1}\right)$，$p$次均值满足$m_p(r, \log|f|) \asymp (1-r)^{\frac{1}{p} - q - 1}$，验证了所导估计的精确性。
• $n(r,f) = O((1-r)^{-1/p})$是$\sup_r m_p(r, \log|f|) < \infty$的充分条件，且该界在不施加更强零点分布约束时无法改进。