[论文解读] Growth of some transversely homogeneous foliations

Jesús A. Álvarez López, Robert Wolak|arXiv (Cornell University)|Apr 6, 2013

Advanced Differential Equations and Dynamical Systems被引用 1

一句话总结

该论文为紧流形上的横截齐性叶状覆盖建立了二分法：若全局单体群的闭包连通，则所有叶的单体覆盖要么具有统一有界的多项式增长，要么全部具有指数增长。该结果通过拟等距技巧与齐性伪群的增长理论，将Breuillard和Gelander对李叶状覆盖的二分法推广至更广泛的(G, G/P)-叶状覆盖类，适用于横截投影叶状覆盖。

ABSTRACT

For transversely homogeneous foliations on compact manifolds whose global holonomy group has connected closure, it is shown that either all holonomy covers of the leaves have polynomial growth with degree bounded by a common constant, or all holonomy covers of the leaves have exponential growth. This is an extension of a recent answer given by Breuillard and Gelander to a question of Carri\`ere. Examples of transversely projective foliations satisfying the above condition were constructed by Chihi and ben Ramdane.

研究动机与目标

• 将Breuillard和Gelander在李叶状覆盖中关于叶增长的二分法推广至横截齐性(G, G/P)-叶状覆盖。
• 研究紧流形上横截齐性叶状覆盖中叶的单体覆盖的增长行为。
• 建立所有单体覆盖均呈现统一有界多项式增长或指数增长的条件。
• 分析全局单体群连通性在决定叶单体覆盖增长类型中的作用。

提出的方法

• 使用粗略拟等距与度量空间中的增长类型，比较单体覆盖与芽覆盖的几何结构。
• 通过子群Γ ⊂ G在G/P的开子集上作用，定义(G, G/P)-伪群。
• 利用对称生成集S和S′构造伪群的递归紧生成系统。
• 应用[5, 命题10.5]在非幂零连通李群中寻找自由半群。
• 使用由生成集S诱导的度量dS,U,x分析通过字长的增长，其中ΓU,x为单体群。
• 借助推论2.7，将dS′,U,x的增长类型结果转移至dE，确保在非幂零情况下呈现指数增长。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，横截齐性叶状覆盖中所有叶的单体覆盖均具有统一有界的多项式增长？
• RQ2 在何种条件下，此类叶状覆盖中所有叶的单体覆盖均呈现指数增长？
• RQ3 全局单体群Γ的连通性如何影响叶单体覆盖的增长类型？
• RQ4 能否将李叶状覆盖中观察到的二分法推广至P非紧的(G, G/P)-叶状覆盖？
• RQ5 单体群中自由半群的存在性在决定指数增长中起何种作用？

主要发现

• 若全局单体群Γ的闭包连通，则所有叶的单体覆盖要么具有被同一常数限制的多项式增长，要么全部具有指数增长。
• 证明的关键在于：若Γ非幂零且连通，则其包含秩≥2的自由半群，从而导致单体覆盖中呈现指数增长。
• 对于幂零Γ，增长为多项式，且其增长度统一受幂零度限制。
• 当G在G/P上的作用忠实且G/P连通时，该结果适用于(G, G/P)-叶状覆盖。
• 通过粗略拟等距技巧与伪群及其生成集之间的增长比较，建立了该二分法。
• 该定理适用于横截投影叶状覆盖，包括Godbillon-Vey不变量非零的示例，如Chihi与ben Ramdane所构造。