[论文解读] Growth of the asymptotic dimension function for groups

G. Bell|ArXiv.org|Apr 28, 2005

Advanced Operator Algebra Research参考文献 12被引用 14

一句话总结

本文研究了有限生成群的渐近维函数的增长率，表明该函数的增长受图群中顶点群的维函数增长以及相对双曲群中旁系子群的维函数增长的控制。关键结果表明，此类群的渐近维函数的增长速度不超过其组成子群的渐近维函数，从而在这些构造下提供了维数增长的统一有界性。

ABSTRACT

It is relatively easy to construct a finitely generated group with infinite asymptotic dimension: the restricted wreath product of $\mathbb{Z}$ by $\mathbb{Z}$ provides an example. In light of this, it becomes interesting to consider the rate of growth of the asymptotic dimension function of a group. Loosely speaking, we measure the dimension on $λ$-scale and let $λ$ increase to infinity to recover the asymptotic dimension. In this paper we consider how the asymptotic dimension function is affected by different constructions involving groups.

研究动机与目标

• 理解有限生成群中渐近维函数的增长方式，特别是当渐近维为无穷大时的情况。
• 分析群构造（特别是图群和相对双曲结构）对渐近维函数增长速率的影响。
• 建立渐近维函数缓慢增长（例如多项式增长）的充分条件，并将其与性质A和精确性等粗几何性质联系起来。
• 将已知的渐近维结果扩展到函数级增长，特别是在拟等距不变量和粗嵌入的背景下。

提出的方法

• 使用渐近维函数 $\operatorname{ad}_X(\lambda)$，其定义为：具有至少 $\lambda$ 的Lebesgue数的均匀有界覆盖的最小多重性减去一。
• 应用拟等距不变量的增长关系 $f \preceq g$，该关系用于比较 $\mathbb{R}_+$ 上实值函数的增长率，以比较维函数。
• 利用群在具有有限渐近维的度量空间上的等距作用，通过分析邻域的稳定化子来控制 $\operatorname{ad}_\Gamma$ 的增长。
• 应用Osin关于相对双曲群的结果，表明在 $S \cup \mathcal{H}$-度量中，$R$-稳定化子集 $W_R(e)$ 的维数增长受到控制。
• 使用归纳法和有限并定理，证明在 $S \cup \mathcal{H}$-度量中球 $B(n)$ 的维函数增长不超过旁系子群 $H_\ell$ 的维函数，即若 $\operatorname{ad}_{H_\ell} \leq f$，则 $\operatorname{ad}_{B(n)} \preceq f$。
• 利用陪集 $\gamma H_\ell$ 是等距且均匀分离的性质，从而实现对其维数增长的统一控制。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在渐近维函数增长速率介于多项式与指数之间的群？
• RQ2 有限渐近维的群的受限半直积的渐近维函数是否至多为多项式有界？
• RQ3 渐近维函数多项式增长的群类在受限半直积构造下是否封闭？
• RQ4 是否存在一个临界增长速率，使得增长较慢的群满足性质A或可粗嵌入到希尔伯特空间中，而增长较快的群则不能？
• RQ5 对于正合列 $1 \to K \to G \to H \to 1$，是否成立 $\operatorname{ad}_G \approx \max\{\operatorname{ad}_K, \operatorname{ad}_H\}$？

主要发现

• 对于有限连通的有限生成群图 $\Gamma$，$\Gamma$ 的渐近维函数的增长速度不超过其顶点群 $G_p$ 的渐近维函数，即 $\operatorname{ad}_\Gamma \preceq \max_p \operatorname{ad}_{G_p}$。
• 对于关于子群 $H_1, \dots, H_n$ 相对双曲的有限生成群 $\Gamma$，$\Gamma$ 的渐近维函数的增长速度不超过每个 $H_i$ 的渐近维函数，即对所有 $i$ 有 $\operatorname{ad}_\Gamma \preceq \operatorname{ad}_{H_i}$。
• 如果旁系子群 $H_i$ 的维函数增长速度至多为某函数 $f$，则 $\operatorname{ad}_\Gamma \preceq f$，从而实现了对 $\Gamma$ 的增长的统一控制。
• 渐近维函数的增长在拟等距意义下是不变的，即通过 $\preceq$ 关系保持不变，从而可在拟等距空间之间进行比较。
• 通过构造具有受控Lebesgue数和多重性的覆盖，结合在 $S \cup \mathcal{H}$-度量中球大小的归纳法，可推导出维数界。
• 该方法证实，渐近维函数呈次线性或多项式增长的群满足Yu的性质A，从而将增长与粗几何时不变量联系起来。