[论文解读] Growth of Weil-Petersson volumes and random hyperbolic surfaces of large genus

Maryam Mirzakhani|arXiv (Cornell University)|Dec 10, 2010

Geometry and complex manifolds参考文献 29被引用 25

一句话总结

本文確立了在 $g \to \infty$ 時，雙曲曲面模空間的 Weil-Petersson 体積的漸近增長率，顯示其增長速率約為 $(4\pi^2)^{2g+n-3}(2g-3+n)!$，僅相差多項式因子。此外，本文進一步證明，大虧格下隨機雙曲曲面通常具有有界的 Cheeger 常數、較小的直徑，以及以正機率出現長度較短的非分離測地線，而分離測地線則通常較長，揭示了高虧格極限下豐富的幾何結構。

ABSTRACT

In this paper we study the asymptotic behavior of Weil-Petersson volumes of moduli spaces of hyperbolic surfaces of genus $g$ as $g ightarrow \infty.$ We apply these asymptotic estimates to study the geometric properties of random hyperbolic surfaces, such as the Cheeger constant and the length of the shortest simple closed geodesic of a given combinatorial type.

研究动机与目标

• 確定雙曲曲面模空間在虧格 $g$ 和 $n$ 個穿孔下，Weil-Petersson 體積 $V_{g,n}$ 在 $g \to \infty$ 時的漸近行為。
• 研究在大虧格極限下，依 Weil-Petersson 測度產生的隨機雙曲曲面的幾何性質。
• 建立最短簡單閉測地線（特別是分離與非分離類型）期望長度的定量界限。
• 分析大虧格下隨機雙曲曲面的 Cheeger 常數與直徑。

提出的方法

• 利用 $\overline{\mathcal{M}}_{g,n}$ 上 $\psi$-類交點數的遞推公式，推導體積多項式 $V_{g,n}(L)$ 系數的漸近估計。
• 應用已知的 $\psi$-類交點數遞推關係，以界定 $V_{g,n}$ 和 $V_{g,n}(L)$ 的增長速率。
• 使用 Weil-Petersson 體積形式及其辛結構，在 $\mathcal{M}_g$ 上計算期望值與機率。
• 運用等周不等式與雙曲空間中的幾何分析，以 systole 和曲率為基礎，界定 Cheeger 常數 $h(X)$。
• 應用體積比較與球體積估計，利用關係式 $\operatorname{diam}(X) \leq 2(r_0 + \frac{1}{h}\log(\frac{\operatorname{Vol}(X)}{2B(r_0)}))$ 界定隨機曲面的直徑。
• 利用 $\mathbb{E}^{g}_{X\sim wp}(\ell_{\mathrm{sys}}(X)) \asymp \log g$ 和 $\mathbb{E}^{g}_{X\sim wp}(\sqrt{\operatorname{diam}(X)}) \asymp \sqrt{\log g}$ 的性質，推導直徑與 systole 的尾部界限。

实验结果

研究问题

• RQ1 對於固定的 $n$，當 $g \to \infty$ 時，Weil-Petersson 體積 $V_{g,n}$ 的漸近增長方式為何？
• RQ2 在大虧格的隨機雙曲曲面上，最短非分離簡單閉測地線的典型長度為何？
• RQ3 在大虧格極限下，最短分離簡單閉測地線的長度行為如何？
• RQ4 當 $g \to \infty$ 時，隨機雙曲曲面的 Cheeger 常數 $h(X)$ 的漸近行為為何？
• RQ5 在 Weil-Petersson 測度下，隨機雙曲曲面的直徑如何隨虧格 $g$ 變化？

主要发现

• 當 $g \to \infty$ 時，Weil-Petersson 体積 $V_{g,n}$ 滿足 $V_{g,n} \asymp (4\pi^2)^{2g+n-3}(2g-3+n)!$，僅相差 $g$ 的多項式因子。
• 隨機曲面具有長度小於 $\epsilon$ 的非分離簡單閉測地線的機率，對固定的 $\epsilon > 0$，其漸近行為為 $\asymp \epsilon^2$。
• 最短分離簡單閉測地線的期望長度滿足 $\mathbb{E}^{g}_{X\sim wp}(\ell^{s}_{\mathrm{sys}}(X)) \asymp \log g$，當 $g \to \infty$ 時。
• 隨機曲面的 Cheeger 常數 $h(X)$ 滿足 $\operatorname{Prob}^{g}_{wp}(h(X) \leq \frac{\ln 2}{\pi + \ln 2}) \to 0$ 當 $g \to \infty$，表示其以高機率遠離零。
• 隨機曲面的直徑滿足 $\operatorname{Prob}^{g}_{wp}(\operatorname{diam}(X) \geq C_d \log g) \to 0$，其中 $C_d = 5$，且 $\mathbb{E}^{g}_{X\sim wp}(\sqrt{\operatorname{diam}(X)}) \asymp \sqrt{\log g}$。
• 期望的倒數 Cheeger 常數滿足 $\int_{\mathcal{M}_g} \frac{1}{h(X)} \, dX \asymp V_g$，表示 $h(X)$ 通常遠離零。