[论文解读] Growth partition functions for cancellative infinite monoids

Kyoji Saito|arXiv (Cornell University)|Sep 30, 2010

Advanced Topics in Algebra参考文献 5被引用 3

一句话总结

本文为具有有限生成集的可消去无限幺半群引入了增长分划函数 $Z_{\Gamma,G}(t)$，建立了一个通过从增长函数导出的代数方程计算极限分划函数的框架。对于阿廷幺半群的有限类型（如辫子幺半群），证明了除可能存在的有限例外外，这些幺半群是简单累积的 ($\#\Omega(\Gamma,G) = 1$)，并通过在分母多项式的最小实根 $r_{\Gamma,G}$ 处求值 $Z_{\Gamma,G}(t)$，显式计算出唯一的极限分划函数 $\omega_{\Gamma,G}$。

ABSTRACT

We introduce the {\it growth partition function} $Z_{Γ,G}(t)$ associate with any cancellative infinite monoid $Γ$ with a finite generator system $G$. It is a power series in $t$ whose coefficients lie in integral Lie-like space $\mathcal{L}_{\Z}(Γ,G)$ in the configuration algebra associated with the Cayley graph $(Γ,G)$. We determine them for homogeneous monoids admitting left greatest common divisor and right common multiple. Then, for braid monoids and Artin monoids of finite type, using that formula, we explicitly determine their limit partition functions $ω_{Γ,G}$.

研究动机与目标

• 定义并研究具有有限生成集的可消去无限幺半群的生长分划函数 $Z_{\\Gamma,G}(t)$。
• 为具有左最大公因子和右公倍元的齐次幺半群确定 $Z_{\Gamma,G}(t)$。
• 建立阿廷幺半群的有限类型是简单累积的 ($\\#\\Omega(\Gamma,G) = 1$)，除可能存在的有限例外外。
• 通过生长分划函数和代数方程，显式计算此类幺半群的极限分划函数 $\omega_{\Gamma,G}$。

提出的方法

• 引入配置代数 $\mathbb{A}[[Conf(\Gamma,G)]]$，并通过子图和的对数定义类似李代数的元素 $\mathcal{L}_{\mathbb{A}}(\Gamma,G)$。
• 将增长分划函数定义为 $Z_{\Gamma,G}(t) := \frac{P_{\Gamma,G}\mathcal{M}(t)}{P_{\Gamma,G}(t)}$，其中 $P_{\Gamma,G}(t)$ 为增长级数，$P_{\Gamma,G}\mathcal{M}(t)$ 为类似李代数元素的生成函数。
• 利用先前工作的主公式 (1.1) 将 $Trace^{[e]}\Omega(\Gamma,G)$ 与 $Z_{\Gamma,G}(t)$ 关联，其中包含误差项 $E$ 和惯性群数据。
• 将该公式应用于 $\mathcal{C}$ 类幺半群，特别是周期 $h_{\Gamma,G} = 1$ 的有限类型阿廷幺半群。
• 将 $\omega_{\Gamma,G}$ 计算为 $Z_{\Gamma,G}(r_{\Gamma,G})$，其中 $r_{\Gamma,G}$ 为分母多项式 $N_M(t)$ 在 (0,1) 内的最小实根。
• 依赖于猜想和计算验证，涵盖类型 $A_l$，$B_l$，$D_l$（$l \leq 30$），以及 $E_6$，$E_7$，$E_8$，$F_4$，$G_2$，$H_3$，$H_4$，$I_2(p)$，并获得小林-土井冈-安田的进一步分析支持。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，极限分划函数集合 $\Omega(\Gamma,G)$ 为单元素集，即幺半群是简单累积的？
• RQ2 如何显式计算具有左最大公因子和右公倍元的齐次幺半群的增长分划函数 $Z_{\Gamma,G}(t)$？
• RQ3 阿廷幺半群的有限类型的极限分划函数 $\omega_{\Gamma,G}$ 的显式形式是什么？
• RQ4 分母多项式 $N_M(t)$ 的最小实根 $r_{\Gamma,G}$ 是否通过 $Z_{\Gamma,G}(t)$ 的求值给出 $\omega_{\Gamma,G}$ 的正确值？
• RQ5 根的伽罗瓦群作用对 $\Omega(\Gamma,G)$ 的结构有多大影响？

主要发现

• 对于阿廷幺半群的有限类型，除在类型 $A_l$，$B_l$ 或 $D_l$ 中 $30 < l < M$ 的可能有限例外外，有 $\\#\Omega(\Gamma,G) = 1$。
• 极限分划函数 $\omega_{\Gamma,G}$ 由 $Z_{\Gamma,G}(r_{\Gamma,G})$ 给出，其中 $r_{\Gamma,G}$ 为分母多项式 $N_M(t)$ 在 (0,1) 内的最小实根。
• 生长分划函数 $Z_{\Gamma,G}(t)$ 已显式确定于 $\mathcal{C}$ 类幺半群，包括有限类型的阿廷幺半群。
• 所有测试的有限类型阿廷幺半群的周期 $h_{\Gamma,G} = 1$ 已确认，支持 $\Omega(\Gamma,G)$ 的简单性。
• 惯性群大小 $m_{\Gamma,G} = 1$，且分子多项式 $A^{[e]}(s) = 1$，使主公式 (1.1) 简化为 $\omega_{\Gamma,G} = Z_{\Gamma,G}(r_{\Gamma,G})$。
• 公式 $\omega_{\Gamma,G} = \sum_{S \in Conf_0(\Gamma_M,G)} \varphi(S) \, r_{\Gamma_M,G}^{L(S)}$ 提供了极限分划函数的明确且可计算的表达式。