[论文解读] Growth rates and the peripheral spectrum of positive operators

Jochen Glück|arXiv (Cornell University)|Dec 23, 2015

Advanced Banach Space Theory参考文献 17被引用 4

一句话总结

本文通过分析预解式范数的增长率和特征向量行为，为复Banach格上的正算子的外周谱的循环性建立了新的充分条件。研究证明，若当序列趋近谱半径时，预解式范数的增长为最小或最大，则所有外周特征值的整数次幂均属于谱，为长久以来Perron-Frobenius理论中的循环性问题提供了强有力证据。

ABSTRACT

Let $T$ be a positive operator on a complex Banach lattice. It is a long open problem whether the peripheral spectrum $σ_{\operatorname{per}}(T)$ of $T$ is always cyclic. We consider several growth conditions on $T$, involving its eigenvectors or its resolvent, and show that these conditions provide new sufficient criteria for the cyclicity of the peripheral spectrum of $T$. Moreover we give an alternative proof of the recent result that every (WS)-bounded positive operator has cyclic peripheral spectrum. We also consider irreducible operators $T$. If such an operator is Abel bounded, then it is known that every peripheral eigenvalue of $T$ is algebraically simple. We show that the same is true if $T$ only fulfils the weaker condition of being (WS)-bounded.

研究动机与目标

• 解决关于复Banach格上每个正算子的外周谱是否为循环的开放问题。
• 基于预解式和特征向量范数的增长率，建立外周谱循环性的新充分条件。
• 为近期结果提供替代证明，包括(WS)-有界正算子的外周谱循环性。
• 将已知的Abel有界算子结果推广至更弱的(WS)-有界条件，尤其针对不可约算子。
• 通过预解式分析和不变子空间方法，统一并推广正算子理论中的谱技术。

提出的方法

• 分析当 rₙ ↓ r(T) = 1 时，预解式范数 ‖R(rₙ,T)|z‖ 的增长率，其中 z 是对应于外周特征值 λ 的归一化特征向量。
• 利用不等式 1/(rₙ−1) ≤ ‖R(rₙ,T)|z‖ ≤ ‖R(rₙ,T)‖ 来刻画最小和最大增长行为。
• 应用在不变理想和主要带上的谱理论，证明在极端增长条件下，对所有 k ∈ ℤ，有 λᵏ ∈ σ(T)。
• 通过超幂约化技术，确保外周谱完全由特征值组成。
• 使用(WS)-有界性概念，将此前仅对Abel有界算子成立的结果推广至更广情形。
• 应用在AM空间上的马尔可夫算子和扭算子理论，证明 T 与 λT 相似，从而推出谱在旋转下不变。

实验结果

研究问题

• RQ1 在预解式或特征向量范数的增长率满足何种条件下，可保证正算子的外周谱为循环？
• RQ2 当预解式范数沿某序列的增长为最小或最大时，是否可确立外周谱的循环性？
• RQ3 (WS)-有界性条件是否意味着不可约正算子的外周特征值具有代数简单性？此前该结论仅对Abel有界算子成立。
• RQ4 能否使用替代的谱技术重新证明(WS)-有界正算子具有循环外周谱的结果？
• RQ5 算子 T 的谱行为与 T 在由正特征向量生成的不变理想上的限制的谱行为之间有何关系？

主要发现

• 若 ‖R(rₙ,T)|z‖ 的范数以 1/(rₙ−1) 的速度增长，则对所有 k ∈ ℤ，有 λᵏ ∈ σ(T)，从而推出外周谱的循环性。
• 若 ‖R(rₙ,T)|z‖ 的范数以 ‖R(rₙ,T)‖ 的速度增长，则对所有 k ∈ ℤ，有 λᵏ ∈ σ(T)，同样推出循环性。
• (WS)-有界性条件足以确保不可约正算子的每个外周特征值均为代数简单，扩展了此前仅对Abel有界算子成立的结果。
• 为(WS)-有界正算子具有循环外周谱的结果提供了替代谱技术证明，基于在不变理想上的谱分析。
• 对任意具有正特征向量 z 的外周特征值 λ，主理想 E|z| 在 T 下不变，且 T 在该理想上的限制通过一个扭算子与 λT 相似，从而推出 σ(T) 在乘以 λ 下不变。
• 对所有 n ≥ 2，有 ker(1−T)ⁿ = ker(1−T)，在(WS)-有界性下确认了特征值 1 的代数简单性。