[论文解读] Growth rates for subclasses of Av(321)

Michael Albert, M. D. Atkinson+4 more|Open Research Online (The Open University)|Mar 11, 2009

semigroups and automata theory参考文献 10被引用 13

一句话总结

本文证明，在避免 321 的模式类中，向其他模式添加关节点（articulation points）不会改变其增长速率。通过证明此类扩展类是原类的有界合并，作者展示了增长速率保持不变，从而为 Av(321) 子类中特定模式修改下增长速率的不变性提供了结构解释。

ABSTRACT

Pattern classes which avoid 321 and other patterns are shown to have the same growth rates as similar (but strictly larger) classes obtained by adding articulation points to any or all of the other patterns. The method of proof is to show that the elements of the latter classes can be represented as bounded merges of elements of the original class, and that the bounded merge construction does not change growth rates.

研究动机与目标

• 研究在避免 321 的模式类中，向类内其他模式添加关节点如何影响其增长速率。
• 确定当在避免模式中引入附加结构约束（即关节点）时，模式类的增长速率是否保持不变。
• 建立一种通用方法，通过分析其结构组成来比较相关模式类的增长速率。
• 证明有界合并构造不会改变置换类的指数增长速率。

提出的方法

• 作者分析避免 321 及其他模式的模式类，重点关注通过向避免模式添加关节点所形成的类。
• 他们定义了一种有界合并构造，将原模式类的元素组合为扩展类的元素。
• 证明依赖于表明扩展类中的每个元素均可表示为原类元素的有界合并。
• 通过利用已知的关于有界合并操作下增长速率的结果，他们确立了增长速率的保持不变。
• 该论证使用置换的结构分解，表明添加关节点不会使可实现的置换数量超出受控因子。
• 该方法具有一般性，适用于任何避免 321 及其他模式、并在避免模式中添加关节点的模式类。

实验结果

研究问题

• RQ1 在避免 321 的类中向模式添加关节点是否会改变该类的指数增长速率？
• RQ2 当通过添加关节点修改避免模式时，模式类的增长速率是否可以保持不变？
• RQ3 是否存在一种结构变换——特别是有界合并——可解释此类修改下增长速率的不变性？
• RQ4 有界合并构造在多大程度上保持了置换类中的增长速率特性？
• RQ5 是否存在一般条件，使得通过关节点引入的模式修改下，增长速率保持不变？

主要发现

• 当在避免 321 的类中向其他避免模式添加关节点时，该模式类的增长速率保持不变。
• 扩展类（即添加关节点后的类）被证明是原类的有界合并，从而保持了增长速率。
• 即使扩展类严格大于原类，有界合并构造也不会增加指数增长速率。
• 该结果适用于 Av(321) 的所有子类，只要在避免模式中引入了额外的关节点。
• 该方法为比较具有结构修改的相关模式类之间的增长速率提供了一个通用框架。
• 通过结构分解与合并分析，而非直接枚举，确立了此类修改下增长速率的不变性。