[论文解读] GSV-Index for Holomorphic Pfaff Systems

Maurício Corrêa, Diogo da Silva Machado|arXiv (Cornell University)|Nov 28, 2016

Geometric and Algebraic Topology参考文献 28被引用 5

一句话总结

本文为射影流形上的全纯Pfaff系统引入了一类GSV型指标，将GSV指标推广至高秩系统。通过局部形式与雅可比行列式子式，建立了计算该指标的公式，并在特定条件下证明了其非负性。关键结果表明，GSV指标的非负性会阻碍射影空间上Pfaff系统的Poincaré问题的求解，从而得出不变完全交子簇的次数界：$d_1 + \cdots + d_k \leq d + k + 1$。

ABSTRACT

In this work we introduce a GSV type index for varieties invariant by holomorphic Pfaff systems (possibly non locally decomposables) on projective manifolds. We prove a non-negativity property for the index. As an application, we prove that the non-negativity of the GSV-index gives us an obstruction to the solution of the Poincar\'e problem for Pfaff systems on projectives spaces.

研究动机与目标

• 为射影流形上秩为k的全纯Pfaff系统定义GSV型指标，即使系统在局部不可分解亦可适用。
• 建立利用局部表示与雅可比行列式子式计算GSV指标的公式。
• 在诸如不变子簇光滑或与奇点集不相交等条件下，证明GSV指标的非负性。
• 将GSV指标的非负性作为障碍，应用于射影空间上Pfaff系统的Poincaré问题求解。

提出的方法

• 在射影流形$X$上，为秩为k的Pfaff系统$\omega$定义GSV指标，其在余维数为k的局部完全交子簇$V$上不变。
• 利用局部全纯k-形式$\omega|_U = \sum_{|I|=k} a_I dZ_I$与雅可比子式$\Delta_I$，推导出公式$\text{GSV}(\omega, V, S_i) = \text{ord}_{S_i}(a_I|_V) - \text{ord}_{S_i}(\Delta_I|_V)$。
• 通过层论论证与陈类的正规化性质，证明该指标定义良好且与局部表示无关。
• 利用示性理论与陈-外尔理论，建立拓扑公式$\sum_i \text{GSV}(\omega, V, S_i)[S_i] = c_1([N \otimes \det(N_{V/X})^{-1}])|_V \frown [V]$。
• 将该公式应用于射影空间$\mathbb{P}^n$，通过线丛陈类计算次数，导出次数界。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为射影流形上秩为k的全纯Pfaff系统定义GSV型指标，即使系统在局部不可分解？
• RQ2 GSV指标的精确计算公式如何用局部形式与雅可比行列式子式表示？
• RQ3 在何种条件下GSV指标为非负？其几何意义为何？
• RQ4 GSV指标的非负性如何阻碍射影空间$\mathbb{P}^n$上Pfaff系统的Poincaré问题的求解？

主要发现

• GSV指标定义良好，仅依赖于Pfaff系统$\omega$的局部表示、子簇$V$及其不可约分支$S_i$。
• 该指标满足拓扑公式$\sum_i \text{GSV}(\omega, V, S_i)[S_i] = c_1([N \otimes \det(N_{V/X})^{-1}])|_V \frown [V]$。
• 若$S_i \cap \text{Sing}(V) = \emptyset$，则指标非负，由公式$\text{GSV}(\omega, V, S_i) = \text{ord}_{S_i}(a_I|_V) - \text{ord}_{S_i}(\Delta_I|_V)$可得。
• 若$V$光滑，则GSV指标严格为正，因为$\text{ord}_{S_i}(\Delta_I|_V) = 0$且$\text{ord}_{S_i}(a_I|_V) > 0$。
• 对于射影空间$\mathbb{P}^n$中满足$\omega \in H^0(\mathbb{P}^n, \Omega^k_{\mathbb{P}^n}(d+k+1))$的Pfaff系统，其在多度为$(d_1, \dots, d_k)$的完全交子簇$V$上不变时，有$\sum_i \text{GSV}(\omega, V, S_i) \cdot \deg(S_i) = [d + k + 1 - (d_1 + \cdots + d_k)] \cdot (d_1 \cdots d_k)$。
• GSV指标的非负性意味着次数界$d_1 + \cdots + d_k \leq d + k + 1$，从而阻碍Poincaré问题的求解。