[论文解读] Guaranteed Accuracy for Conic Programming Problems in Vector Lattices

Christian Jansson|ArXiv.org|Jul 30, 2007

Advanced Optimization Algorithms Research参考文献 36被引用 5

一句话总结

本文针对一般向量格中的线性锥规划问题，提出了严格的前向误差界，全面考虑了所有浮点数舍入误差。推导出线性规划、第二类锥规划和半定规划的保证精度公式，通过ε-最优解的弱有界性条件，使即使在病态问题中也能实现验证性解的验证。

ABSTRACT

This paper presents rigorous forward error bounds for linear conic optimization problems. The error bounds are formulated in a quite general framework; the underlying vector spaces are not required to be finite-dimensional, and the convex cones defining the partial ordering are not required to be polyhedral. In the case of linear programming, second order cone programming, and semidefinite programming specialized formulas are deduced yielding guaranteed accuracy. All computed bounds are completely rigorous because all rounding errors due to floating point arithmetic are taken into account. Numerical results, applications and software for linear and semidefinite programming problems are described.

研究动机与目标

• 开发数学上严格且全面考虑锥规划中所有浮点数舍入误差的前向误差界。
• 将误差分析扩展至无穷维向量空间和非多面体锥，推广先前的结果。
• 为最优值、可行性与不可行性提供最优的保证精度证书，适用于病态或病态的锥规划问题。
• 通过实现的软件和数值结果，实现线性与半定规划的验证性数值计算。
• 证明即使条件数为无穷大，ε-最优解的弱有界性条件仍可支持严格误差界。

提出的方法

• 在泛函分析框架下，利用向量格建立前向误差界，支持无穷维空间。
• 应用区间算术与验证性计算技术，传播并界定了所有浮点数运算的舍入误差。
• 为线性规划（LP）、第二类锥规划（SOCP）和半定规划（SDP）推导出专门的误差公式。
• 以雷内加尔（Renegar）的条件数为基础进行敏感性分析，将其与最优值误差的三次方界联系起来。
• 引入ε-最优解的弱有界性条件，使在传统方法失效的病态情况下仍能获得误差界。
• 采用验证性数值方法，并实现软件以实际计算保证的误差界。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在不依赖有限维性或多面体锥的前提下，为一般向量格中的锥规划问题推导出严格的前向误差界？
• RQ2 如何系统性地在锥规划最优值计算中考虑所有浮点数舍入误差？
• RQ3 能否在条件数为无穷大的病态问题中实现保证精度？
• RQ4 ε-最优解的弱有界性条件在支持病态实例的严格误差界中起什么作用？
• RQ5 所推导的误差界在标准锥规划问题（如LP、SOCP和SDP）中实际表现如何？

主要发现

• 本文成功推导出在一般向量格中线性锥规划的严格前向误差界，包括无穷维空间。
• 所有计算出的界在数学上均得到保证，所有浮点数运算的舍入误差均被明确计入。
• 针对LP、SOCP和SDP的专用公式实现了验证性精度，支持可靠的解验证。
• 通过利用ε-最优解的弱有界性条件，该方法在病态问题中仍能提供误差界。
• 数值结果与软件实现表明，该方法在标准锥规划问题中具有实际可行性与高精度。
• 结果表明，误差界与到不可行性的相对距离的倒数呈三次方关系，证实了雷内加尔建立的理论敏感性极限。