[论文解读] Guaranteed and computable bounds of approximation errors for the semi-discrete Biot problem

K. Suresh Kumar, Svetlana Matculevich+2 more|arXiv (Cornell University)|Aug 24, 2018

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 31被引用 6

一句话总结

本文针对使用隐式欧拉时间格式的半离散Biot问题，提出了保证的、完全可计算的后验误差界。通过结合Ostrowski型估计与函数型误差主要估计，实现了与网格无关的、能量范数下的误差控制，适用于任何符合的离散化方法，从而为自适应加密提供了可靠的误差指示器。

ABSTRACT

The paper is concerned with guaranteed and fully computable a posteriori error estimates for evolutionary problems associated with the poroelastic media governed by the quasi-static linear Biot equations (Biot, 1955). It addresses the question of approximation error control, which arises in the iterative and monolithic approaches used for semi-discrete approximations obtained by the implicit Euler time-discretization scheme. The derivation of the error bounds is based on a combination of the Ostrowski-type estimates (Ostrowski, 1972) derived for iterative schemes and a posteriori error estimates of the functional type for elliptic problems originally (also called error majorants and minorants) introduced in (Repin, 1997, 2000). The validity of the first estimates is based on the contraction property of the fixed stress splitting scheme (Mikelic and Wheeler, 2013, Mikelic, Wang, and Wheeler, 2014) used for decoupling. The error bounds are applicable for any approximation from the admissible functional space and independent of the discretisation method used. They are fully computable and do not contain mesh dependent constants. Functional estimates provide the reliable global estimates of the error measured in the terms of the energy norm and suggest efficient error indicators for the distribution of local errors that is advantageous for automated mesh adaptation algorithms.

研究动机与目标

• 解决由拟静态线性Biot方程控制的多孔弹性问题中，迭代格式与单体格式下的可靠误差估计挑战。
• 开发与离散化方法无关且不含与网格相关常数的可计算误差界。
• 确保误差估计完全可计算，并适用于可容许函数空间内的任意近似解。
• 在能量范数下提供可靠的全局误差估计，并为自适应网格加密提供高效的局部误差指示器。
• 通过固定应力分裂格式的压缩性质，建立理论有效性基础。

提出的方法

• 针对迭代格式推导的Ostrowski型估计，用于控制固定应力分裂过程中的误差。
• 整合最初为椭圆问题开发的函数型后验误差估计（误差主要估计与次要估计）。
• 利用固定应力分裂格式的压缩性质，确保误差界收敛与可靠。
• 构建完全可计算的误差界，仅依赖于离散解与问题数据，无需未知常数。
• 确保误差界对可容许函数空间内任意符合的有限元近似均有效。
• 推导能量范数下的全局误差估计，以及适用于自适应网格策略的局部误差指示器。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否针对使用迭代求解器的半离散Biot问题，推导出保证的、完全可计算的后验误差界？
• RQ2 如何构建误差估计，使其与离散化方法无关且不含与网格相关的常数？
• RQ3 函数型误差主要估计在多大程度上能为多孔弹性问题提供可靠的能量范数全局误差控制？
• RQ4 误差界能否通过精确的局部误差指示器有效驱动局部网格自适应？
• RQ5 在固定应力分裂格式的背景下，何种理论条件可确保误差估计的有效性？

主要发现

• 所提出的误差界完全可计算，且不包含任何与网格相关的常数，确保在不同离散化方法下均具有鲁棒性。
• 误差估计适用于可容许函数空间内的任意近似解，与底层有限元方法无关。
• 误差界提供了可靠的全局误差估计，以能量范数度量，可实现可信的误差监控。
• 函数型误差主要估计可产生高效的局部误差指示器，适用于引导自动化网格自适应算法。
• 理论基础依赖于固定应力分裂格式的压缩性质，确保误差估计框架的收敛性与稳定性。
• 该方法结合Ostrowski型分析与函数型后验估计，为演化型多孔弹性问题提供了一种新颖且严谨的误差控制机制。