[论文解读] Guaranteed Control of Sampled Switched Systems using Semi-Lagrangian Schemes and One-Sided Lipschitz Constants

Adrien Le Coënt, Laurent Fribourg|arXiv (Cornell University)|Mar 14, 2019

Stability and Control of Uncertain Systems参考文献 28被引用 5

一句话总结

本论文提出了一种半拉格朗日格式，通过利用单边利普希茨（OSL）常数来界定欧拉近似轨迹与精确轨迹之间的偏差，从而确保采样切换系统的安全性和可达性。该方法确保了基于网格化状态空间合成的控制策略在靠近网格节点的初始状态下具有形式正确性，且在 OSL 基础的误差估计下具有可证明的安全性和捕获性。

ABSTRACT

In this paper, we propose a new method for ensuring formally that a controlled trajectory stay inside a given safety set S for a given duration T. Using a finite gridding X of S, we first synthesize, for a subset of initial nodes x of X , an admissible control for which the Euler-based approximate trajectories lie in S at t $\in$ [0,T]. We then give sufficient conditions which ensure that the exact trajectories, under the same control, also lie in S for t $\in$ [0,T], when starting at initial points 'close' to nodes x. The statement of such conditions relies on results giving estimates of the deviation of Euler-based approximate trajectories, using one-sided Lipschitz constants. We illustrate the interest of the method on several examples, including a stochastic one.

研究动机与目标

• 为采样切换系统开发一种形式化验证的控制合成方法，确保轨迹在有限时间范围内保持在安全集合内。
• 通过使用单边利普希茨（OSL）常数而非标准利普希茨常数，减少可达性分析中的过度近似误差。
• 将该方法扩展至随机微分方程和微分博弈，在不确定性及对抗性动力学下保持形式化保证。
• 提供充分条件，确保基于欧拉轨迹的近似控制策略在精确轨迹从靠近网格节点的初始点出发时也保证安全。
• 通过在紧致状态空间上进行网格划分与值迭代，实现高效且可扩展的控制合成，同时通过 OSL 基础的误差界确保形式正确性。

提出的方法

• 该方法在安全集合 𝒮 上使用有限网格对状态空间进行离散化，并通过半拉格朗日（SL）格式预计算可接受的控制模式。
• 对每个网格节点，计算在候选控制输入下基于欧拉近似的轨迹，并检查其在每个采样间隔 τ 内是否保持在 𝒮 内。
• 应用单边利普希茨（OSL）常数 λₐ 来界定欧拉近似轨迹与精确轨迹之间的偏差，从而实现将近似控制保证形式化地推广到精确动力学。
• 推导出充分条件，以确保若近似轨迹保持在 𝒮 内，则从初始网格节点附近出发的精确轨迹在整个时间范围内也保持在 𝒮 内。
• 通过在控制动作上进行最大-最小优化的逆向归纳计算值函数，确保同时满足安全性和对目标集合的可达性。
• 通过将 OSL 基础的误差估计适配至对抗性与随机动力学，将该方法扩展至双人微分博弈和随机 ODE。

实验结果

研究问题

• RQ1 单边利普希茨（OSL）常数能否用于形式化界定切换系统中欧拉近似轨迹与精确轨迹之间的误差？
• RQ2 在何种条件下，可保证为欧拉近似轨迹合成的控制策略对精确轨迹也具有安全性？
• RQ3 如何将基于 OSL 的误差估计集成到半拉格朗日格式中，以实现可证明正确的控制合成？
• RQ4 该方法能否扩展至随机微分方程和双人微分博弈，同时保持形式化安全性和可达性保证？
• RQ5 在 OSL 误差界下维持形式正确性时，网格分辨率与计算成本之间的权衡是什么？

主要发现

• 只要满足基于 OSL 的充分条件，对于距离任一网格节点在 ε 范围内的任意初始状态，精确轨迹在整个时间范围 T 内均保持在安全集合 𝒮 内。
• 使用 OSL 常数可获得比标准利普希茨常数更紧致的误差界，尤其在刚性系统中表现更优，从而提升了方法的适用性。
• 在两罐系统实例中，该方法成功合成了一项控制策略，使系统在整个时间范围内保持在安全边界内。
• 在随机 ODE 扩展中，该方法利用基于 OSL 的误差估计，为欧拉-丸山近似提供了可证明安全的控制策略。
• 在追逐-追捕微分博弈中，该方法在 66 步内成功将追捕者拉近至逃逸者 0.7 单位以内，且在第 68 步后观察到长度为 16 的极限环。
• 仿真实验耗时 534 秒 CPU 时间，展示了在 4D 状态空间、每维 N=10 个节点、ε=0.31 条件下的可行性。