[论文解读] Guaranteed efficient energy estimation of quantum many-body Hamiltonians using ShadowGrouping

Alexander Gresch, Martin Kliesch|arXiv (Cornell University)|Jan 9, 2023

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用 4

一句话总结

本文提出 ShadowGrouping，一种利用单量子比特测量实现高效且可证明准确的量子多体哈密顿量能量估算的新方法。通过结合阴影估计与优化的泡利字符串分组策略，该方法显著降低了测量开销，并在分子基态能量的理论保证与数值基准测试中均优于现有最先进方法。

ABSTRACT

Estimation of the energy of quantum many-body systems is a paradigmatic task in various research fields. In particular, efficient energy estimation may be crucial in achieving a quantum advantage for a practically relevant problem. For instance, the measurement effort poses a critical bottleneck for variational quantum algorithms. We aim to find the optimal strategy with single-qubit measurements that yields the highest provable accuracy given a total measurement budget. As a central tool, we establish new tail bounds for empirical estimators of the energy. They are helpful for identifying measurement settings that improve the energy estimate the most. This task constitutes an NP-hard problem. However, we are able to circumvent this bottleneck and use the tail bounds to develop a practical, efficient estimation strategy, which we call ShadowGrouping. As the name indicates, it combines shadow estimation methods with grouping strategies for Pauli strings. In numerical experiments, we demonstrate that ShadowGrouping improves upon state-of-the-art methods in estimating the electronic ground-state energies of various small molecules, both in provable and practical accuracy benchmarks. Hence, this work provides a promising way, e.g., to tackle the measurement bottleneck associated with quantum many-body Hamiltonians.

研究动机与目标

• 解决变分量子算法与量子模拟中的测量瓶颈问题，其中哈密顿量期望值的估算是一项关键性能限制因素。
• 设计一种在固定总测量预算下最小化估计误差的策略，重点聚焦于单量子比特测量。
• 为经验能量估计器提供严格的尾部界限，以指导最优测量设置的选择。
• 设计一种实用且高效的估计协议，在保持可证明误差界限的同时实现高精度。
• 在小分子电子基态能量估算中，证明该方法优于现有方法。

提出的方法

• 引入新的经验能量估计器尾部界限，以量化有限采样下能量估计的准确性。
• 利用这些尾部界限指导最优测量设置（幺正变换）的选择，以在给定测量预算下最大化估计精度。
• 提出 ShadowGrouping 框架，结合随机测量协议（阴影估计）与泡利字符串分组策略，以减少测量开销。
• 将测量设置优化表述为对估计误差上界最小化的优化问题，利用推导出的尾部界限。
• 实现预处理步骤，生成针对哈密顿量结构与测量预算量身定制的幺正变换列表。
• 对单量子比特测量结果进行后处理，以计算具有可证明精度保证的最终能量估计器。

实验结果

研究问题

• RQ1 我们能否为量子多体哈密顿量设计一种测量策略，确保在最小测量资源下实现高精度？
• RQ2 我们如何以计算高效的方式利用经验估计器的尾部界限，指导最优测量设置的选择？
• RQ3 将阴影估计与泡利字符串分组相结合，相较于现有方法，在能量估计精度方面能提升多少？
• RQ4 在分子哈密顿量的实际基准测试中，该方法是否能优于随机或启发式测量策略？
• RQ5 基于尾部界限推导出的结构化测量设置是否能在估计精度上带来可证明的优势？

主要发现

• 与最先进方法相比，ShadowGrouping 在估算小分子电子基态能量方面表现更优，包括随机泡利设置和现有分组策略。
• 数值基准测试显示，与随机泡利设置相比，ShadowGrouping 将均方根误差（RMSE）降低了最多四倍，且在所有测试分子中均观察到性能提升。
• 在 STO-3G 基组下的 H₂ 分子中，ShadowGrouping 的 RMSE 为 27 ± 3 mHa，优于单次测量估计器的 50 ± 6 mHa。
• 在 H₂O 和 NH₃ 等较大体系中，与随机泡利设置相比，ShadowGrouping 将 RMSE 降低了三倍以上，误差分别为 320 ± 40 mHa 和 430 ± 50 mHa。
• 该方法提供了可证明的误差界限，其随测量预算的缩放性能良好，理论保证与实际性能仅相差对数因子。
• 基于尾部界限推导出的单次测量估计器在实践中表现不佳，表明通过分组估计复用测量结果更为有效。