[论文解读] Guaranteed Transient Performance with $\mathcal{L}_1$ Adaptive Controller for Systems with Unknown Time-varying Parameters: Part I

Chengyu Cao, Naira Hovakimyan|ArXiv.org|Aug 15, 2006

Adaptive Control of Nonlinear Systems参考文献 21被引用 3

一句话总结

本文提出了一种 $δ_1$ 自适应控制架构，可保证在具有时变未知参数和有界扰动的系统中，输入和输出信号的瞬态性能均一致有界。通过提高自适应增益，该方法系统性地降低了跟踪误差的 $δ_\infty$ 范数界，从而在不降低时延裕量的前提下，改善瞬态和渐近性能。

ABSTRACT

This paper presents a novel adaptive control methodology for uncertain systems with time-varying unknown parameters and time-varying bounded disturbance. The adaptive controller ensures uniformly bounded transient and asymptotic tracking for system's both signals, input and output, simultaneously. The performance bounds can be systematically improved by increasing the adaptation gain. Simulations of a robotic arm with time-varying friction verify the theoretical findings.

研究动机与目标

• 解决在时变参数系统自适应控制中控制信号缺乏保证的瞬态性能的问题。
• 克服传统方案在提高自适应增益时出现的高频控制信号振荡问题。
• 确保系统输入和输出信号的瞬态响应同时保持一致有界。
• 提供一种通过提高自适应增益系统性改善性能界的方法。
• 保持时延裕量稳定性，与传统自适应方案在高增益下相位裕量降低形成对比。

提出的方法

• 引入一种新颖的 $δ_1$ 自适应控制架构，在反馈回路中加入低通滤波器，以抑制控制信号中的高频分量。
• 设计一个参考线性时不变（LTI）系统，其输入和输出信号作为性能基准。
• 使用 $δ_1$ 增益分析，界定自适应系统与参考LTI系统之间误差的 $δ_\infty$ 范数。
• 将闭环系统表述为具有时变不确定性和扰动的扰动LTI系统。
• 通过条件 $\|G(s)\|_{\mathcal{L}_1}L < 1$ 验证 $δ_1$ 稳定性，其中 $G(s)$ 为灵敏度函数，$L$ 为不确定集的界。
• 以高自适应增益 $\Gamma_c = 10000$ 和增益 $k = 60$ 实现控制器，以满足 $\omega k > 30$ 时的稳定性条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 单一自适应控制架构是否能保证在时变参数系统中，输入和输出信号的瞬态性能均一致有界？
• RQ2 提高自适应增益是否能系统性地降低跟踪误差的 $δ_\infty$ 范数界，而不会降低系统鲁棒性？
• RQ3 即使在高自适应增益下，控制信号是否仍能保持平滑且低频，避免高频振荡？
• RQ4 在 $δ_1$ 架构中，提高自适应增益是否能保持时延裕量，而与传统自适应方案不同？
• RQ5 在快速变化的扰动和非线性（如机器人系统中的时变摩擦）下，控制器性能如何？

主要发现

• 该 $δ_1$ 自适应控制器确保了输入和输出信号的瞬态响应一致有界，且通过提高自适应增益可系统性地降低 $δ_\infty$ 范数误差界。
• 在具有时变摩擦的机械臂仿真中，控制器对参考信号 $r(t) = \cos(\pi t)$ 实现了近乎完美的跟踪，如图4(a)、5(a)和6(a)所示，$x_1(t)$ 与 $\hat{x}_1(t)$ 几乎无法区分。
• 即使在快速变化的扰动 $\sigma(t) = \cos(x_1(t)) + 2\sin(100t) + \cos(150t)$ 下，控制信号 $u(t)$ 仍保持平滑且无高频振荡，如图6(b)所示。
• $δ_1$ 稳定性条件 $\|G(s)\|_{\mathcal{L}_1}L < 1$ 在 $\omega k > 30$ 时满足，且当 $\omega > 0.5$ 时，设定 $k = 60$ 可确保稳定性。
• 仿真结果证实，控制器的性能与所设计用于抵消的扰动的频率内容相匹配，表现出有效的扰动抑制。
• 该方法保持了保证的瞬态性能和时延裕量，如第二部分所证明，与传统方案在高自适应增益下相位裕量降低形成鲜明对比。