[论文解读] Guidable Local Hamiltonian Problems with Implications to Heuristic Ansatz State Preparation and the Quantum PCP Conjecture

Jordi Weggemans, Marten Folkertsma+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 22, 2023

Bayesian Modeling and Causal Inference被引用 3

一句话总结

本文引入了“可引导局域哈密顿量”问题——即保证存在一个引导态但未提供该态——并确立了其与量子和经典计算复杂度的关系。研究证明，在反多项式精度下，此类问题为QCMA-完全；而当引导态可经典计算时，问题属于NP，为量子ansatz态制备与量子PCP猜想提供了新见解。

ABSTRACT

We study 'Merlinized' versions of the recently defined Guided Local Hamiltonian problem, which we call 'Guidable Local Hamiltonian' problems. Unlike their guided counterparts, these problems do not have a guiding state provided as a part of the input, but merely come with the promise that one exists. We consider in particular two classes of guiding states: those that can be prepared efficiently by a quantum circuit; and those belonging to a class of quantum states we call classically evaluatable, for which it is possible to efficiently compute expectation values of local observables classically. We show that guidable local Hamiltonian problems for both classes of guiding states are $\mathsf{QCMA}$-complete in the inverse-polynomial precision setting, but lie within $\mathsf{NP}$ (or $\mathsf{NqP}$) in the constant precision regime when the guiding state is classically evaluatable. Our completeness results show that, from a complexity-theoretic perspective, classical Ansätze selected by classical heuristics are just as powerful as quantum Ansätze prepared by quantum heuristics, as long as one has access to quantum phase estimation. In relation to the quantum PCP conjecture, we (i) define a complexity class capturing quantum-classical probabilistically checkable proof systems and show that it is contained in $\mathsf{BQP}^{\mathsf{NP}[1]}$ for constant proof queries; (ii) give a no-go result on 'dequantizing' the known quantum reduction which maps a $\mathsf{QPCP}$-verification circuit to a local Hamiltonian with constant promise gap; (iii) give several no-go results for the existence of quantum gap amplification procedures that preserve certain ground state properties; and (iv) propose two conjectures that can be viewed as stronger versions of the NLTS theorem. Finally, we show that many of our results can be directly modified to obtain similar results for the class $\mathsf{MA}$.

研究动机与目标

• 研究当引导态被保证存在但未提供时，局域哈密顿量问题的复杂度，重点关注两类：可通过量子电路高效制备的态与可经典计算的态。
• 探讨这些问题对启发式量子ansatz态制备的影响，特别是在量子相位估计算法中的应用。
• 考察与量子PCP猜想的联系，包括已知量子约化是否可被“去量化”以及是否存在能量间隙放大过程。
• 提出并分析NLTS定理的更强版本，如NLCES与Strong-NLCES猜想，作为证明量子PCP猜想的潜在路径。

提出的方法

• 将“可引导局域哈密顿量”（g-LH）问题引入为一种基于承诺的引导局域哈密顿量问题变体，其中引导态的存在性被保证但不作为输入给出。
• 分析两类引导态：可通过量子电路高效制备的态（导致QCMA-完全性）与可经典计算的态（在常数精度下问题属于NP）。
• 应用谱放大技术，表明对于可经典计算的态，低能量子空间可被经典高效表征，从而实现NP包含性。
• 提出一个用于量子-经典可验证证明的复杂度类（QCPCP），并证明常数查询次数的QCPCP包含于BQPNP[1]。
• 证明量子-经典间隙放大不存在的定理，表明任何保持可经典计算性质的此类过程都将导致QCMA坍缩至NP。
• 提出并分析NLCES与Strong-NLCES猜想作为NLTS的更强替代形式，将其与量子PCP猜想的有效性联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 在常数精度下，当引导态可经典计算时，可引导局域哈密顿量问题的计算复杂度是什么？
• RQ2 能否在不导致复杂度类坍缩的前提下，使用经典手段对已知从QPCP验证电路到局域哈密顿量的量子约化进行“去量化”？
• RQ3 是否存在根本性障碍，使得保持基态可经典计算性质的量子间隙放大过程无法实现？
• RQ4 可经典计算的引导态对量子PCP猜想有何影响？它们是否能导出NLTS定理的更强版本？
• RQ5 QCMA的结果如何推广至MA复杂度类？相应的PCP陈述是什么？

主要发现

• 在常数精度下，具有可经典计算引导态的可引导局域哈密顿量问题属于NP（或NqP）；而在反多项式精度下，问题为QCMA-完全。
• 本文证明，由经典启发式选择的类经典ansatz，其计算能力与通过量子启发式制备的量子ansatz相当，前提是存在量子相位估计算法。
• 本文证明，若存在一个多项式时间的经典约化，将具有反多项式间隙的可经典引导局域哈密顿量问题约化为常数间隙版本，则QCMA = NP。
• 若存在一个准多项式时间的经典约化，将反多项式间隙约化为常数间隙，则QCMA ⊆ NqP，这被认为极不可能。
• 本文提出了NLCES猜想，断言任何可经典计算的态都无法具有接近局域哈密顿量族基态能量的能量。
• Strong-NLCES猜想通过要求任何可经典计算态与低能量子空间的重叠度以o(1/poly(n))的速率衰减，进一步强化了该结论，为去量化提供了更稳健的障碍。