[论文解读] $h$ and $hp$-adaptive Interpolation by Transformed Snapshots for Parametric and Stochastic Hyperbolic PDEs

Gerrit Welper|arXiv (Cornell University)|Oct 31, 2017

Probabilistic and Robust Engineering Design参考文献 35被引用 15

一句话总结

本文提出使用变换快照的 $h$ 和 $hp$-自适应插值方法，以解决具有激波拓扑变化的参数化与随机超bolic PDE。通过在参数空间中局部加密并利用坐标对齐的变换，该方法在存在不连续性的情况下仍能实现指数收敛速率，优于传统降维基与POD方法，在具有演化激波特性的问题中表现更优。

ABSTRACT

The numerical approximation of solutions of parametric or stochastic hyperbolic PDEs is still a serious challenge. Because of shock singularities, most methods from the elliptic and parabolic regime, such as reduced basis methods, POD or polynomial chaos expansions, show a poor performance. Recently, Welper [Interpolation of functions with parameter dependent jumps by transformed snapshots. SIAM Journal on Scientific Computing, 39(4):A1225-A1250, 2017] introduced a new approximation method, based on the alignment of the jump sets of the snapshots. If the structure of the jump sets changes with parameter, this assumption is too restrictive. However, these changes are typically local in parameter space, so that in this paper, we explore $h$ and $hp$-adaptive methods to resolve them. Since local refinements do not scale to high dimensions, we introduce an alternative "tensorized" adaption method.

研究动机与目标

• 解决传统降维基、POD与多项式混沌方法在参数化与随机超bolic PDE中因激波特性的不连续性导致性能不佳的问题。
• 克服变换快照插值（TSI）的局限性，即假设跨参数的跳跃集合拓扑保持不变。
• 在参数空间中开发 $h$ 与 $hp$-自适应加密策略，以解析激波特性的局部拓扑变化。
• 提出一种张量化自适应框架，缓解高维参数空间中的可扩展性问题。
• 为模型问题展示指数收敛速率，并通过基准PDE的数值实验加以验证。

提出的方法

• 应用参数依赖的域变换 $\phi(\mu,\eta)(x)$ 的变换快照插值（TSI），以在不同参数值间对齐跳跃不连续性。
• 在参数空间中采用 $h$-与 $hp$-自适应加密，以解析激波特性的局部变化区域，如激波碰撞或从激波到稀疏波的转变。
• 通过将局部加密与坐标轴对齐，构建张量化自适应策略，实现在高维参数空间中的可扩展性。
• 在参数空间中使用变换快照进行拉格朗日插值：$ u(x,\mu) \approx \sum_{\eta \in \mathcal{P}_n} \ell_\eta(\mu) \, u(\phi(\mu,\eta)(x), \eta) $。
• 采用基于有限元的变换 $\phi(\mu,\eta)(x) = x + \varphi(\mu,\eta)(x)$，使用二阶单元，并施加边界条件 $\varphi \cdot \nu = 0$，以确保微分同胚性与域保持不变。
• 在变换与解评估中，对空间分辨率采用粗积分与二阶多项式逼近。

实验结果

研究问题

• RQ1 在参数化超bolic PDE的激波特性中，参数空间中的 $h$ 与 $hp$-自适应加密能否有效解析局部拓扑变化？
• RQ2 基于坐标对齐变换的张量化自适应策略是否相比标准局部加密，在高维参数空间中展现出更好的可扩展性？
• RQ3 对于具有演化激波特性的问题，所提出的自适应TSI方法可实现何种收敛速率？
• RQ4 在具有不连续解的问题中，该方法与标准降维基及POD方法在误差与鲁棒性方面相比如何？
• RQ5 该方法能否以最少的加密程度准确捕捉关键转变，如激波碰撞与激波到稀疏波的转变？

主要发现

• 该方法在具有演化激波特性的模型问题中实现了指数收敛速率，性能显著优于标准降维基与POD方法。
• 对初始条件含两个跳跃的无粘Burgers方程的数值实验表明，局部加密能有效捕捉激波碰撞与稀疏波转变。
• 当 $\mu = -0.5$ 时，加密集中在激波碰撞时刻；当 $\mu = 0.5$ 时，加密发生在 $t=0$，此时初始跳跃转变为稀疏波。
• 在测试案例中，整体误差已接近空间分辨率 $h = 0.01$ 的快照误差水平，表明在极少加密下仍具有高精度。
• 在前向台阶流算例中，该方法成功捕捉了高马赫数下新激波的形成，且加密集中在转变点附近。
• 该方法避免了解析解中的阶梯效应，误差维持在空间网格尺寸 ($h = 0.025$) 的两倍左右，表明其具有鲁棒性与高精度。