[论文解读] H-Convex Riemannian Submanifolds

Constantin Udrişte, Tudor I. Oprea|ArXiv.org|Nov 1, 2005

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 5被引用 6

一句话总结

本文通过用平均曲率向量替代超曲面的单位法向量，将黎曼子流形的 H-凸性推广至任意余维数，建立了基于第二基本形式与平均曲率的双线性形式正定性的表征。关键贡献在于：若与平均曲率相关的 Weingarten 算子为正定，则子流形是严格 H-凸的，该结果将经典凸性概念推广至高余维情形，并将曲率条件与几何凸性联系起来。

ABSTRACT

Having in mind the well known model of Euclidean convex hypersurfaces [4], [5], and the ideas in [1] many authors defined and investigate convex hypersurfaces of a Riemannian manifold. As it was proved by the first author in [7], there follows the interdependence between convexity and Gauss curvature of the hypersurface. In this paper we define $H$-convexity of a Riemannian submanifold of arbitrary codimension, replacing the normal versor of a hypersurface with the mean curvature vector $H$. A characterization, used by B.Y. Chen [2], [3] as the definition of strictly $H$-convexity, it is obtained.

研究动机与目标

• 将黎曼流形中子流形的凸性概念从超曲面推广至任意余维数。
• 通过用平均曲率向量场替代单位法向量，定义 H-凸性。
• 基于第二基本形式与平均曲率的双线性形式的正定性，建立 H-凸性的必要与充分条件。
• 将 H-凸性与曲率不变量（特别是实空间形式中的 k 阶 Ricci 曲率）联系起来。
• 证明均曲率非零的曲线必为严格 H-凸子流形。

提出的方法

• 通过指数映射与实值函数 F(y) = ω_x(exp_x^{-1}(y)) 在一点定义 H-凸性，其中 ω 为与平均曲率向量 H 关联的 1-形式。
• 引入全测地超曲面 TGH_x 作为 F 的零点集，将邻域分为 TGH_x^- 与 TGH_x^+ 两部分。
• 建立必要条件：若 M 在 x 处 H-凸，则双线性形式 Ω_x(X,Y) = g(h(X,Y), H) 为半正定。
• 证明若 Ω_x 为正定，则 M 在 x 处为严格 H-凸，利用 F 的 Hessian 在 M 上的限制。
• 通过与 H 关联的 Weingarten 算子 A_H 表征 Ω_x 的定性。
• 将结果应用于实空间形式，通过 k 阶 Ricci 曲率 θ_k(x) 与截面曲率建立 H-凸性关系。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将黎曼流形中子流形的 H-凸性概念从超曲面推广至任意余维数？
• RQ2 在高余维子流形的凸性定义中，单位法向量的合适替代物是什么？
• RQ3 在第二基本形式与平均曲率向量满足何种条件下，子流形为 H-凸或严格 H-凸？
• RQ4 H-凸性与实空间形式中的曲率不变量（如 k 阶 Ricci 曲率）有何关联？
• RQ5 均曲率非零的曲线是否总是严格 H-凸子流形？

主要发现

• 子流形 M 在 x 处 H-凸当且仅当双线性形式 Ω_x(X,Y) = g(h(X,Y), H) 为半正定。
• 若双线性形式 Ω_x 为正定，则子流形 M 在 x 处为严格 H-凸。
• 在黎曼流形中均曲率非零的曲线，其双线性形式 Ω 为正定，因此此类曲线为严格 H-凸。
• 在曲率为 c 的实空间形式中，若存在 k ∈ [2,n] 使得 k 阶 Ricci 曲率 θ_k(x) > c，则子流形在 x 处为严格 H-凸。
• 在实空间形式中，若超曲面在 x 处为严格 H-凸，则 x 处的截面曲率超过 c，因此对所有 k ∈ [2,n] 有 θ_k(x) > c。
• Weingarten 算子 A_H 为正定当且仅当双线性形式 Ω_x 为正定，从而为 H-凸性提供了谱表征。