[论文解读] H(div) and H(curl)-conforming VEM

L. Beirão da Veiga, Franco Brezzi+2 more|arXiv (Cornell University)|Jul 25, 2014

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 47被引用 45

一句话总结

本文提出了一种针对一般多边形和多面体单元的 H(div) 和 H(curl)-符合虚拟元方法（VEM），将经典的 Raviart-Thomas 和 BDM 有限元方法扩展至非三角形/四面体网格。该方法构建了稳定且保持多项式一致性的投影算子，并建立了 VEM 空间的精确序列，从而在无需直接求解单元内 PDE 的前提下，实现了在非结构化多边形/多面体网格上的高阶混合弱格式。

ABSTRACT

In the present paper we construct Virtual Element Spaces that are $H({ m div})$-conforming and $H({ m \bf curl})$-conforming on general polygonal and polyhedral elements; these spaces can be interpreted as a generalization of well known Finite Elements. We moreover present the basic tools needed to make use of these spaces in the approximation of partial differential equations. Finally, we discuss the construction of exact sequences of VEM spaces.

研究动机与目标

• 将 H(div) 和 H(curl)-符合有限元方法扩展至一般多边形和多面体单元，克服传统基于单纯形的有限元方法的局限性。
• 构建稳定、可计算的局部 VEM 空间，保持多项式一致性并支持高阶近似。
• 在不求解单元内 PDE 的前提下，构建 L² 投影算子至多项式子空间，从而实现高效的矩阵组装。
• 在二维和三维中建立 VEM 空间的精确序列，确保混合格式的相容性。
• 提供一个灵活的框架，通过独立控制面上、边上和单元内的多项式次数，构造 VEM 空间的变体。

提出的方法

• 基于面上、边上和单元内的矩量定义多边形和多面体单元上的 H(div) 和 H(curl)-符合 VEM 空间。
• 从 VEM 空间构建至多项式子空间的 L² 投影算子，从而在无需显式了解基函数的情况下计算局部刚度矩阵。
• 确保 VEM 空间包含相关多项式子空间（如 Raviart-Thomas 或 BDM 类似多项式），以保证最优收敛性。
• 通过变分罪犯和一致性论证，证明局部投影的存在性与稳定性，确保最优逼近性质。
• 通过验证离散 de Rham 复形的相容性（包括散度与旋度算子），在二维和三维中建立 VEM 空间的精确序列。
• 提出一个通用框架，通过独立调节面上的多项式次数（k_b）、散度相关次数（k_d）和旋度相关次数（k_r），实现对特定 PDE 的定制化。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在一般多边形和多面体单元上构建 H(div) 和 H(curl)-符合的虚拟元空间，以保持最优收敛性？
• RQ2 L² 投影算子在无需显式计算基函数的情况下，如何实现局部刚度矩阵的组装？
• RQ3 能否在二维和三维中构建 VEM 空间的精确序列，以保持 de Rham 复形的结构？
• RQ4 如何将该框架推广，以实现对面上、边和单元上多项式次数的独立控制，从而实现针对特定应用的优化？
• RQ5 该框架对复杂几何中混合有限元格式的实现有何影响？

主要发现

• 所提出的 H(div) 和 H(curl)-符合 VEM 空间在标准形状正则性假设下，对一般多边形和多面体单元具有稳定性，并实现最优收敛。
• 在不求解单元内 PDE 的前提下，构建至多项式子空间的 L² 投影算子，可实现局部矩阵的高效且精确组装。
• 在二维和三维中均建立了 VEM 空间的精确序列，确保离散 de Rham 复形被保持，这对混合格式至关重要。
• 通过独立调节面上（k_b）、散度相关（k_d）和旋度相关（k_r）的多项式次数，该框架可构造多种变体，从而适应不同 PDE。
• 该方法将经典的 Raviart-Thomas 和 BDM 元推广至任意多边形和多面体网格，同时保持多项式一致性与最优逼近等关键性质。
• 理论结果证实，离散解满足混合格式中必需的相容性条件（如 inf-sup 稳定性），这对收敛性至关重要。