[论文解读] H infinity Analysis Revisited

Seungil You, Ather Gattami|arXiv (Cornell University)|Dec 15, 2014

Stability and Control of Uncertain Systems参考文献 6被引用 6

一句话总结

本文提出了一种针对LTI系统的新型直接方法，通过半定规划（SDP）计算$H_\infty$范数，避免了KYP引理及其可控制性要求。该方法能够显式重构达到$H_\infty$范数的正弦输入，并在无需可控制性假设的情况下建立强对偶性，通过新的SDP公式推广至有限频率输入约束。

ABSTRACT

This paper proposes a direct, and simple approach to the H infinity norm calculation in more general settings. In contrast to the method based on the Kalman-Yakubovich-Popov lemma, our approach does not require a controllability assumption, and returns a sinusoidal input that achieves the H infinity norm of the system including its frequency. In addition, using a semidefinite programming duality, we present a new proof of the Kalman- Yakubovich-Popov lemma, and make a connection between strong duality and controllability. Finally, we generalize our approach towards the generalized Kalman-Yakubovich-Popov lemma, which considers input signals within a finite spectrum.

研究动机与目标

• 开发一种针对LTI系统$H_\infty$范数计算的直接方法，且无需可控制性假设。
• 实现对达到$H_\infty$范数的正弦输入的显式构造，这是经典KYP引理无法实现的。
• 将该方法推广至输入信号受限于有限频率范围（低频、中频、高频）的系统。
• 建立半定规划中的强对偶性与系统可控制性之间的联系。
• 通过半定规划对偶性，提供KYP引理的新证明。

提出的方法

• 通过状态和输入信号的协方差矩阵$V$，将$H_\infty$分析表述为半定规划（SDP），将无限维优化问题转化为有限维SDP。
• 从系统动力学和功率范数约束中推导出对$V$的约束，确保与原始$H_\infty$问题等价。
• 利用拉格朗日对偶性证明SDP公式的精确性，表明强对偶性在系统不可控时依然成立。
• 引入酉矩阵分解技术，从最优$V$解中重构最优正弦输入。
• 通过将问题转换到频移后的频率域，将该方法推广至有限频率输入集。
• 提出算法2，在谱约束$U + U^* \succeq 2\cos\theta I$下计算所需的酉矩阵$U$，从而实现输入信号的恢复。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可以在不依赖Kalman–Yakubovich–Popov引理及其可控制性假设的前提下计算$H_\infty$范数？
• RQ2 是否能够从优化解中显式重构出达到$H_\infty$范数的正弦输入？
• RQ3 SDP公式中的强对偶性与系统可控制性之间存在何种关系？
• RQ4 如何计算输入信号受限于有限频率带宽的系统的$H_\infty$范数？
• RQ5 能否从所提出的SDP对偶性框架中推导出广义KYP引理？

主要发现

• 所提出的SDP公式在无需系统可控制性假设的情况下精确计算$H_\infty$范数，克服了KYP引理的关键局限。
• SDP的最优解可产生一个实现$H_\infty$范数的正弦输入信号，其频率可从解中显式恢复。
• 本文证明了可控制性是强对偶性成立的充分条件但非必要条件，并通过对偶性提供了KYP引理的新证明。
• 通过将输入频谱变换并应用相同的SDP框架，该方法可推广至低频、中频和高频输入约束。
• 对于有限频率输入集，该方法采用频率平移并求解相同的SDP，最优值即为指定频带内的$H_\infty$范数。
• 算法2成功在谱约束下计算出所需的酉矩阵$U$，从而在有限频率情况下实现最优输入信号的重构。