[论文解读] $H^\infty$ functional calculus and maximal inequalities for semigroups of contractions on vector-valued $L_p$-spaces

Quanhua Xu|arXiv (Cornell University)|Feb 11, 2014

Fixed Point Theorems Analysis参考文献 24被引用 3

一句话总结

该论文为 $L_p(X;E)$ 上的收缩半群建立了向量值最大不等式，其中 $E$ 是 UMD Banach 拟序空间。在正则性和解析性假设下，证明了遍历最大函数与扇形最大函数在 $L_p(X;E)$ 上有界，通过传递法与 $H^\frown{\text{infty}}$ 函数演算技术，将经典的 maximal ergodic theorems 推广至向量值情形。

ABSTRACT

Let $\{T_t\}_{t>0}$ be a strongly continuous semigroup of positive contractions on $L_p(X,μ)$ with $10}\frac1t\Big|\int_0^tT_s(f(\cdot,ω))(x)ds\Big|,\quad (x,ω)\in X imesΩ.$$ Then the following maximal ergodic inequality holds $$\big\|\mathcal M(f)\big\|_{L_p(X; E)}\lesssim \big\|f\big\|_{L_p(X; E)},\quad f\in L_p(X; E).$$ If the semigroup $\{T_t\}_{t>0}$ is additionally assumed to be analytic, then $\{T_t\}_{t>0}$ extends to an analytic semigroup on $L_p(X; E)$ and $\mathcal M(f)$ in the above inequality can be replaced by the following sectorial maximal function $$\mathcal T_θ(f)(x, ω)=\sup_{|{ m arg}(z)|0$. Under the latter analyticity assumption and if $E$ is a complex interpolation space between a Hilbert space and a UMD Banach space, then $\{T_t\}_{t>0}$ extends to an analytic semigroup on $L_p(X; E)$ and its negative generator has a bounded $H^\infty(Σ_σ)$ calculus for some $σ

研究动机与目标

• 将经典的 Dunford-Schwartz 向量值最大遍历不等式推广至 $L_p(X;E)$ 值函数的向量值情形。
• 在 $E$ 为 UMD Banach 拟序空间的条件下，建立解析半群在 $L_p(X;E)$ 上的扇形最大函数有界性。
• 研究最大不等式与解析半群生成元存在有界 $H^\frown{\text{infty}}$ 函数演算之间的联系。
• 通过传递法将 $1 < p < q$ 时向量值最大不等式的有效性问题约化为 Fefferman-Stein 不等式，从而解决一个开放问题。
• 确定在何种条件下，$L_p(X)$ 上的解析半群可延拓为 $L_p(X;E)$ 上的解析半群，并具有有界 $H^\frown{\text{infty}}$ 函数演算。

提出的方法

• 利用传递原理，将 $1 < p < q$ 时的向量值最大不等式约化为实直线上已知的 Fefferman-Stein 不等式。
• 应用正则算子及其在 $L_p(X;E)$ 上的延拓概念，确保在向量值情形下保持正性和控制性质。
• 运用 UMD 空间上 $H^\frown{\text{infty}}$ 函数演算理论，将最大不等式与函数演算有界性联系起来。
• 通过将解析半群延拓至扇形 $Σ_\theta$ 并利用函数演算有界性，建立扇形最大函数的有界性。
• 应用由 $H^\frown{\text{infty}}$ 演算导出的平方函数不等式，特别使用函数 $\varphi(z) = z e^{-z}$ 恢复平方函数中的时间导数项。
• 依赖于插值与对偶性论证，尤其利用 $L_p(X;E)$ 在 $E$ 为 UMD Banach 拟序空间时继承非平凡凹凸性这一事实。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $\{T_t\}$ 是 $L_p(X)$ 上强连续的正则收缩半群，且 $E$ 为 UMD Banach 拟序空间时，形式为 $\|\mathcal{M}(f)\|_{L_p(X;E)} \lesssim \|f\|_{L_p(X;E)}$ 的向量值最大不等式是否对所有 $1 < p < \infty$ 成立？
• RQ2 在 $\{T_t\}$ 为解析半群的附加假设下，是否可将遍历最大函数 $\mathcal{M}(f)$ 替换为扇形最大函数 $\mathcal{T}_\theta(f)$？
• RQ3 当 $E$ 是希尔伯特空间与 UMD Banach 空间之间的复插值空间时，$L_p(X)$ 上解析半群的负生成元是否在 $L_p(X;E)$ 上存在有界 $H^\infty(\Sigma_\sigma)$ 函数演算（对某个 $\sigma < \pi/2$）？
• RQ4 当 $E$ 为 UMD 拟序空间时，$\mathcal{M}(f)$ 在 $L_{1,\infty}(X;E)$ 上的弱型 $(1,1)$ 最大不等式是否成立？
• RQ5 在何种 $E$ 的条件下，$L_p(X)$ 上的解析半群可延拓为 $L_p(X;E)$ 上的解析半群，并具有有界 $H^\infty$ 演算？

主要发现

• 当 $\{T_t\}$ 是 $L_p(X)$ 上强连续的正则收缩半群，且 $E$ 为 UMD Banach 拟序空间时，对所有 $f \in L_p(X;E)$，最大遍历不等式 $\|\mathcal{M}(f)\|_{L_p(X;E)} \lesssim \|f\|_{L_p(X;E)}$ 成立。
• 对于解析半群，扇形最大函数 $\mathcal{T}_\theta(f)(x,\omega) = \sup_{|\arg(z)| < \theta} |T_z(f(\cdot,\omega))(x)|$ 满足 $\|\mathcal{T}_\theta(f)\|_{L_p(X;E)} \lesssim \|f\|_{L_p(X;E)}$，对某个 $\theta > 0$。
• 在解析性及 $E$ 为希尔伯特空间与 UMD Banach 空间之间复插值空间的条件下，$\{T_t\}$ 在 $L_p(X;E)$ 上的生成元对某个 $\sigma < \pi/2$ 存在有界 $H^\infty(\Sigma_\sigma)$ 函数演算。
• 平方函数不等式 $\left\| \left( \int_0^\infty t \left| \frac{\partial}{\partial t} T_t(f) \right|^2 dt \right)^{1/2} \right\|_{L_p(X;E)} \lesssim \|f\|_{L_p(X;E)}$ 成立，其由 $H^\infty$ 演算导出，使用函数 $\varphi(z) = z e^{-z}$ 恢复时间导数项。
• 传递原理将 $1 < p < q$ 时的向量值不等式约化为 Fefferman-Stein 不等式，从而肯定回答了 Charpentier 与 Deléaval 提出的问题。
• 在所述条件下，半群可延拓至 $L_p(X;E)$ 上且为解析半群，其生成元具有有界 $H^\infty$ 演算，从而将最大不等式与函数演算理论联系起来。