[论文解读] Hölder Continuity of Cumulative Distribution Functions for Noncommutative Polynomials under Finite Free Fisher Information

Marwa Banna, Tobias Mai|arXiv (Cornell University)|Sep 28, 2018

Random Matrices and Applications参考文献 30被引用 6

一句话总结

该论文建立了在非微状态自由费雪信息有限的自伴随机变量上的非交换多项式累积分布函数的霍尔德连续性。它证明了仅依赖于多项式次数的显式霍尔德指数，在线性多项式情况下达到最优指数 $\frac{2}{3}$，在利普希茨共轭变量条件下实现利普希茨连续性，从而部分证实了正则性与熵有限性猜想。

ABSTRACT

This paper contributes to the current studies on regularity properties of noncommutative distributions in free probability theory. More precisely, we consider evaluations of selfadjoint noncommutative polynomials in noncommutative random variables that have finite non-microstates free Fisher information, highlighting the special case of Lipschitz conjugate variables. For the first time in this generality, it is shown that the analytic distributions of those evaluations have Hölder continuous cumulative distribution functions with an explicit Hölder exponent that depends only on the degree of the considered polynomial. For linear polynomials, we reach in the case of finite non-microstates free Fisher information the optimal Hölder exponent $\frac{2}{3}$, and get Lipschitz continuity in the case of Lipschitz conjugate variables. In particular, our results guarantee that such polynomial evaluations have finite logarithmic energy and thus finite (non-microstates) free entropy, which partially settles a conjecture of Charlesworth and Shlyakhtenko [CS16]. We further provide a very general criterion that gives for weak approximations of measures having Hölder continuous cumulative distribution functions explicit rates of convergence in terms of the Kolmogorov distance. Finally, we combine these results to study the asymptotic eigenvalue distributions of polynomials in GUEs or matrices with more general Gibbs laws. For Gibbs laws, this extends the corresponding result obtained in [GS09] from convergence in distribution to convergence in Kolmogorov distance; in the GUE case, we even provide explicit rates, which quantify results of [HT05,HST06] in terms of the Kolmogorov distance.

研究动机与目标

• 建立自由概率论中非交换多项式非交换分布的正则性性质。
• 确定自伴非交换多项式取值的累积分布函数（CDF）的霍尔德连续性。
• 在非微状态自由费雪信息有限的条件下，提供仅依赖于多项式次数的显式霍尔德指数。
• 证实此类多项式取值具有有限对数能量，因此具有有限的非微状态自由熵，部分解决了查尔斯沃思与什利赫滕科的猜想。
• 为具有霍尔德连续CDF的测度的弱逼近建立一般性收敛速率准则。

提出的方法

• 利用非微状态自由费雪信息框架分析非交换分布的正则性。
• 通过矩阵值预解式和舒尔补恒等式，应用非交换多项式的自伴线性表示。
• 在 $L^2(\mathcal{M},\tau)^d$ 中运用预解式恒等式与柯西-施瓦茨不等式，以有界预解式迹之间的差异。
• 推导出多项式取值的预解式与块矩阵预解式之间差异的显式界，从而得出霍尔德连续性估计。
• 将霍尔德连续性结果与弱逼近中柯尔莫哥洛夫距离收敛速率的一般准则相结合。
• 将该框架应用于随机矩阵系综，包括GUE和具有吉布斯测度的矩阵，以推导出柯尔莫哥洛夫距离中的显式收敛速率。

实验结果

研究问题

• RQ1 在非微状态自由费雪信息有限的条件下，非交换多项式的累积分布函数可保证哪些正则性性质，特别是霍尔德连续性？
• RQ2 当自由费雪信息有限时，线性非交换多项式CDF的最优霍尔德指数是多少？
• RQ3 有限自由费雪信息是否能推出多项式取值的有限对数能量，从而实现有限的非微状态自由熵？
• RQ4 对于具有霍尔德连续CDF的测度的弱逼近，可推导出哪些显式柯尔莫哥洛夫距离收敛速率？
• RQ5 这些正则性与收敛性结果如何应用于GUE矩阵或具有吉布斯律的矩阵中多项式渐近特征值分布的分析？

主要发现

• 任意自伴非交换多项式取值的累积分布函数均具有仅依赖于多项式次数的霍尔德连续性。
• 在线性多项式情况下，在非微状态自由费雪信息有限的条件下，达到最优霍尔德指数 $\frac{2}{3}$。
• 在利普希茨共轭变量情况下，CDF为利普希茨连续，对应指数为1。
• 结果表明此类多项式取值具有有限对数能量，因此具有有限的非微状态自由熵，支持了查尔斯沃思与什利赫滕科的猜想。
• 建立了一般性准则，可为具有霍尔德连续CDF的测度的弱逼近提供显式柯尔莫哥洛夫距离收敛速率。
• 该框架为GUE矩阵中多项式渐近特征值分布及具有吉布斯测度的矩阵中的结果，提供了显式柯尔莫哥洛夫距离收敛速率，将先前的分布收敛结果推广至更强的收敛形式。