[论文解读] Hölder continuity of normal cycles and of support measures of convex bodies

Daniel Hug, Rolf Schneider|arXiv (Cornell University)|Oct 5, 2013

Point processes and geometric inequalities参考文献 18被引用 3

一句话总结

本文建立了欧氏空间中凸体的法循环和支撑测度的霍尔德连续性估计。利用对偶平坦半范数和有界利普希茨度量，证明了在豪斯多夫度量下，法循环以指数 $1/(2n+1)$ 霍尔德连续变化，而支撑测度以指数 $1/2$ 霍尔德连续变化，且常数依赖于这些凸体的几何有界性。

ABSTRACT

We provide an estimate of the distance (in the dual flat seminorm) of the normal cycles of convex bodies with given Hausdorff distance. We also give an estimate (in the bounded Lipschitz metric) of the support measures of convex bodies.

研究动机与目标

• 提供已知的凸体法循环在豪斯多夫收敛下的连续性结果的定量改进。
• 在有界利普希茨度量下，建立支撑测度的局部霍尔德连续性。
• 通过提供显式的霍尔德型估计，改进现有关于曲率和面积测度的稳定性结果。
• 将查扎勒等人提出的技术扩展至凸体，从而获得强于以往的估计。
• 将法循环与支撑测度的正则性与几何不变量（如内切球半径、外接球半径及平行体）联系起来。

提出的方法

• 通过在 $\mathbb{R}^{2n}$ 上使用微分形式，估计法循环差的对偶平坦半范数，利用在公共集合 $M$ 上的光滑性与紧支集性质。
• 应用修改后的有界利普希茨度量来比较支撑测度 $\Lambda_i(K,\cdot)$ 与 $\Lambda_i(L,\cdot)$，利用变换公式及距离函数与法向量场的性质。
• 使用通过投影和法映射在 $K^\rho = K + \rho B^n$ 上定义的辅助测度 $\mu_{K,\rho}$，并证明其在有界利普希茨度量下为利普希茨连续。
• 将测度差分解为三部分：重叠区域中 $|p_K - p_L|$、$|u_K - u_L|$ 以及对称差 $K^\rho \triangle L^\rho$，每部分均通过几何有界性进行估计。
• 应用关于距离函数梯度的已知结果（$\nabla d_K = u_K$），以控制法向量差的 $L^1$-范数。
• 通过求解具有范德蒙德结构的线性系统，将支撑测度 $\Lambda_i$ 表示为 $\mu_{K,\rho_j}$（$\rho_j = j/n$）的线性组合，从而实现估计的传递。

实验结果

研究问题

• RQ1 在豪斯多夫收敛下，法循环的弱连续性是否可被强化为定量的霍尔德估计？
• RQ2 在对偶平坦半范数下，法循环关于豪斯多夫度量的最优霍尔德指数是多少？
• RQ3 凸体支撑测度之间的有界利普希茨距离如何随其豪斯多夫距离变化？
• RQ4 通过支撑测度的霍尔德连续性，能否改进闵可夫斯基存在性与唯一性定理在面积测度下的稳定性？
• RQ5 查扎勒等人提出的方法在多大程度上可被适配于凸体，以获得更强的正则性估计？

主要发现

• 法循环 $T_K$ 满足霍尔德估计 $|T_K(\varphi) - T_L(\varphi)| \leq C(M,\varphi) \, d_H(K,L)^{1/(2n+1)}$，对所有在包含 $K_1 \times \mathbb{S}^{n-1}$ 与 $L_1 \times \mathbb{S}^{n-1}$ 的紧集 $M$ 上的光滑 $(n-1)$-形式 $\varphi$ 成立。
• 支撑测度 $\Lambda_i(K,\cdot)$ 满足 $d_{bL}(\Lambda_i(K,\cdot), \Lambda_i(L,\cdot)) \leq C(R) \, d_H(K,L)^{1/2}$，其中 $R$ 为控制平行体 $K_2$ 与 $L_2$ 的半径。
• 面积测度 $S_{n-1}(K,\cdot)$ 继承了相同的霍尔德估计：$d_{bL}(S_{n-1}(K,\cdot), S_{n-1}(L,\cdot)) \leq C'(R) \, d_H(K,L)^{1/2}$。
• 支撑测度估计中常数 $C(R)$ 仅依赖于维度和包含 $K_2$ 与 $L_2$ 的球的半径 $R$，而不依赖于 $K$ 与 $L$ 的具体形状。
• 证明依赖于将有界利普希茨距离分解为三部分：交集区域中位置与法向量场的差，以及平行体的对称差，每部分均被 $O(\sqrt{\delta})$ 控制。
• 通过范德蒙德系统从 $\mu_{K,\rho_j}$ 线性重构 $\Lambda_i$，确保了霍尔德指数 $1/2$ 在线性组合下保持不变。