[论文解读] Hölder continuity of solutions to the complex Monge-Ampère equation with the right hand side in L^p. The case of compact Kähler manifolds

Sławomir Kołodziej|ArXiv.org|Nov 2, 2006

Geometry and complex manifolds参考文献 4被引用 4

一句话总结

该论文在紧致凯勒流形上证明了当右端项 $f$ 属于 $L^p(M)$ 且 $p > 1$ 时，复蒙日-安培方程 $(\omega + dd^c u)^n = f\omega^n$ 的解具有 Hölder 连续性。通过正则化技术、稳定性估计以及一种三圆周型不等式，作者证明了解 $u$ 具有依赖于 $p$、流形 $M$ 和 $\|f\|_p$ 的 Hölder 指数，将先前关于连续性的结果推广到了更高正则性。

ABSTRACT

We prove that on compact Kähler manifolds solutions to the complex Monge-Ampère equation, with the the right hand side in $L^p, p>1,$ are Hölder continuous.

研究动机与目标

• 在紧致凯勒流形上，建立当右端项 $f$ 属于 $L^p(M)$ 且 $p > 1$ 时，$\omega$-拟凸解的复蒙日-安培方程的 Hölder 连续性。
• 将已知的 $f \in L^p$（$p > 1$）情形下的连续性结果推广至 Hölder 连续性，并提供定量的模连续性估计。
• 将严格强伪凸域中已有的技术，特别是 [GKZ] 的正则化与稳定性方法，适配到紧致凯勒情形。
• 解决凯勒-里奇流中势函数的正则性问题，其中 $f$ 可能在子簇上趋于无穷大，但仍属于 $L^p$（$p > 1$）空间。

提出的方法

• 通过局部平均对解 $u$ 进行正则化：在坐标图中定义 $u_{j,\delta}(z) = \max_{|w|<\delta} u(z+w)$。
• 定义辅助函数 $\chi(\delta) = \delta^{-\alpha} \max_j \max_z (u_{j,\delta} - u)(z)$ 和 $\eta(\delta) = \max_j \max_z (u_{j,C\delta} - u_{j,\delta})(z)$，以追踪振幅衰减。
• 利用 [K2] 中的比较原理与稳定性估计，将 $\|u - v\|_\infty$ 控制在 $\|f - g\|_1^{1/(n+3+\epsilon)}$ 范围内，针对归一化解。
• 应用三圆周定理的形式 $u_{j,N\delta} - u_{j,\delta} \geq \frac{\log N}{\log C}(u_{j,C\delta} - u_{j,\delta})$，以关联不同尺度下的振幅。
• 通过将正则化后的 $u_{j,\delta}$ 与截断函数 $\rho_j$ 组合，构造一个 subsolution $u_\delta$，确保 $dd^c u_\delta + \omega > 0$。
• 通过反证法假设 $\chi(\delta) > \max(9, \chi(N\delta))$，导出一个测度较小的集合 $E$，使得 $f$ 在其中几乎为零，并利用比较原理违反蒙日-安培测度的正性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在紧致凯勒流形上，复蒙日-安培方程 $(\omega + dd^c u)^n = f\omega^n$ 的解 $u$ 在 $f \in L^p(M)$ 且 $p > 1$ 时是否具有 Hölder 连续性？
• RQ2 能否利用 [K2] 中的稳定性估计（即 $\|u - v\|_\infty$ 可通过 $\|f - g\|_1^{1/(n+3+\epsilon)}$ 控制）将连续性提升为 Hölder 连续性？
• RQ3 Hölder 指数如何依赖于 $f$ 的 $L^p$ 范数、流形 $M$ 以及维数 $n$？
• RQ4 在严格强伪凸域中使用的正则化与振幅衰减技术，能否被适配到紧致凯勒情形？
• RQ5 当极限度量在子簇上具有奇点但 $f$ 仍属于 $L^p$ 时，凯勒-里奇流中势函数的正则性如何？

主要发现

• 当 $f \in L^p(M)$ 且 $p > 1$ 时，复蒙日-安培方程的解 $u$ 具有 Hölder 连续性，其 Hölder 指数依赖于 $p$、$M$ 和 $\|f\|_p$。
• Hölder 指数 $\alpha$ 满足 $\alpha < \frac{1}{q(n+3+\epsilon)+1}$，其中 $q$ 是 $p$ 的 Hölder 共轭，且 $\epsilon > 0$ 为任意正数。
• 证明依赖于反证法：假设 $\chi(\delta) > \max(9, \chi(N\delta))$，从而导出一个测度较小的集合 $E$，使得 $f$ 几乎处处为零。
• 集合 $E$ 的测度满足 $c_4 \delta^{1-\alpha}$ 的上界，利用 Hölder 不等式可得 $\int_E f \omega^n \leq c_5 \delta^{(1-\alpha)/q}$，从而控制稳定性估计中的 $L^1$ 差值。
• 矛盾来源于比较原理：$\int_U (dd^c u_\delta + \omega)^n > 0$，但 $\int_U (dd^c v + \omega)^n = \int_E g \omega^n = 0$，违反了蒙日-安培测度的正性。
• 该结果可推广至紧致凯勒轨道流形，并可应用于射影流形上具有 $L^p$ 奇点极限的凯勒-里奇流中的势函数。