[论文解读] Hölder continuity of tangent cones in RCD(K,N) spaces and applications to non-branching

Qin Deng|arXiv (Cornell University)|Sep 16, 2020

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 45被引用 14

一句话总结

该论文在RCD(K,N)空间中建立了沿测地线的切锥的Hölder连续性，证明了在任意内测地线上的小球几何结构在 pointed Gromov-Hausdorff 距离下以Hölder连续的方式变化。该结果表明RCD(K,N)空间是非分支的，且正规集在m-几乎处处具有恒定维数，并在m-几乎处处为凸集，其高维正规集为弱凸集，因而连通。

ABSTRACT

In this paper we prove that a metric measure space $(X,d,m)$ satisfying the finite Riemannian curvature-dimension condition ${\sf RCD}(K,N)$ is non-branching and that tangent cones from the same sequence of rescalings are Hölder continuous along the interior of every geodesic in $X$. More precisely, we show that the geometry of balls of small radius centred in the interior of any geodesic changes in at most a Hölder continuous way along the geodesic in pointed Gromov-Hausdorff distance. This improves a result in the Ricci limit setting by Colding-Naber where the existence of at least one geodesic with such properties between any two points is shown. As in the Ricci limit case, this implies that the regular set of an ${\sf RCD}(K,N)$ space has $m$-a.e. constant dimension, a result already established by Bruè-Semola, and is $m$-a.e convex. It also implies that the top dimension regular set is weakly convex and, therefore, connected. In proving the main theorems, we develop in the ${\sf RCD}(K,N)$ setting the expected second order interpolation formula for the distance function along the Regular Lagrangian flow of some vector field using its covariant derivative.

研究动机与目标

• 在RCD(K,N)空间中建立沿测地线的小球几何结构的Hölder连续性。
• 证明RCD(K,N)空间是非分支的，从而解决Ricci极限理论中长期悬而未决的公开问题。
• 将Colding-Naber在Ricci极限空间中的结果推广至完整的RCD(K,N)框架。
• 证明RCD(K,N)空间中的正规集在m-几乎处处具有恒定维数。
• 建立高维正规集的弱凸性与连通性。

提出的方法

• 通过其协变导数，为向量场的正规拉格朗日流上的距离函数开发二阶插值公式。
• 使用热流逼近方法，在RCD(K,N)设定下控制距离函数与多余函数。
• 通过内在构造方法，构造任意两点之间的测地线，以实现小球几何结构的Hölder连续性，优于外在极限测地线方法。
• 应用Arzelà-Ascoli定理，从缩放后的度量测度空间序列中提取收敛子列，以定义切锥。
• 通过反证法证明非分支性，表明任何分支都会违反测地线上几何结构的Hölder连续性。
• 使用Fubini型论证与线段不等式，证明几乎每条测地线上正规集维数在m-几乎处处为常数。

实验结果

研究问题

• RQ1 在RCD(K,N)空间中，沿测地线的小球几何结构在 pointed Gromov-Hausdorff 距离下是否以Hölder连续方式变化？
• RQ2 RCD(K,N)空间是否是非分支的，且能否通过切锥的正则性来证明这一点？
• RQ3 RCD(K,N)空间中的正规集是否在m-几乎处处具有恒定维数，如同Ricci极限情形一样？
• RQ4 正规集是否在m-几乎处处为凸集，且高维正规集是否为弱凸集并连通？
• RQ5 RCD(K,N)空间中的二阶微分法是否可用于推导流线上距离函数的插值公式？

主要发现

• 在RCD(K,N)空间中任意内测地线上的小球几何结构以Hölder连续方式变化：$ d_{pGH}\big((B_r(\nu(s)), \nu(s)), (B_r(\nu(t)), \nu(t))\big) < \frac{C K'}{\nu \ell'} r |s-t|^\alpha $，其中 $ r < r_0 \frac{\delta \ell'}{K'} $，且 $ \alpha(N) > 0 $。
• 同一缩放序列生成的切锥具有Hölder连续性：对所有 $ r > 0 $，有 $ d_{pGH}((B_r(y_s), y_s), (B_r(y_t), y_t)) < \frac{C K'}{\delta \ell'} r |s-t|^\alpha $。
• RCD(K,N)空间是非分支的，解决了Ricci极限理论中的一个关键公开问题。
• 正规集 $ \mathcal{R}_n $ 在 $ m $-几乎处处具有恒定维数 $ n \in \mathbb{N} $，且满足 $ 1 \leq n \leq N $，同时 $ m(X \setminus \mathcal{R}_n) = 0 $。
• 正规集 $ \mathcal{R}_n $ 在 $ m $-几乎处处为凸集，且为弱凸集，因此连通。
• 高维正规集为弱凸集，因此连通，扩展了Ricci极限情形下的结果。