[论文解读] H\\"older gradient estimates for a class of singular or degenerate parabolic equations

Cyril Imbert, Tianling Jin+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 5, 2016

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 25被引用 31

一句话总结

本文为一类形如 $ u_t = |\nabla u|^\gamma \left( \Delta u + (p-2)|\nabla u|^{-2} u_i u_j u_{ij} \right) $ 的奇异或退化的抛物型方程的粘性解建立了内部 Hölder 梯度估计，其中 $ p \in (1,\infty) $ 且 $ \gamma \in (-1,\infty) $。作者采用改进的 Ishii-Lions 方法与正则化技术，证明了空间-时间区域内的空间梯度 $ \nabla u $ 是 Hölder 连续的，其指数 $ \alpha \in (0,1) $ 仅依赖于 $ n, \gamma, p $ 以及 $ u $ 的 $ L^\infty $ 范数，从而得到了一个定量的 $ C^{1,\alpha} $ 正则性结果。

ABSTRACT

We prove interior H\\"older estimate for the spatial gradients of the viscosity solutions to the singular or degenerate parabolic equation $$ u_t=|\ abla u|^{\\kappa}\\mbox{div} (|\ abla u|^{p-2}\ abla u), $$ where $p\\in (1,\\infty)$ and $\\kappa\\in (1-p,\\infty).$ This includes the from $L^\\infty$ to $C^{1,\\alpha}$ regularity for parabolic $p$-Laplacian equations in both divergence form with $\\kappa=0$, and non-divergence form with $\\kappa=2-p$. This work is a continuation of a paper by the last two authors \\cite{JS}.

研究动机与目标

• 为一类广义奇异或退化抛物型方程的粘性解的空间梯度建立内部 Hölder 正则性估计。
• 在单一框架下统一处理散度型与非散度型抛物型 p-Laplacian 方程的正则性理论。
• 通过基于 Ishii-Lions 方法的新分析技术，克服一般情况下缺乏一致椭圆性的困难。
• 将先前针对 $ \gamma = 0 $（散度型）和 $ \gamma = p-2 $（非散度型）的结果推广至整个范围 $ \gamma \in (-1,\infty) $。

提出的方法

• 分两个阶段使用 Ishii-Lions 方法：首先推导对数-Lipschitz 估计，然后将其提升为 Lipschitz 有界性。
• 通过光滑逼近 $ \partial_t u = (|\nabla u|^2 + \varepsilon^2)^{\gamma/2} \left( \delta_{ij} + (p-2)\frac{u_i u_j}{|\nabla u|^2 + \varepsilon^2} \right) u_{ij} $ 对原方程进行正则化，其中 $ \varepsilon \in (0,1) $，以处理不可微性问题。
• 建立与 $ \varepsilon $ 无关的统一 Lipschitz 与 Hölder 梯度估计，并通过极限论证恢复原方程的结果。
• 引入一种非标准缩放 $ Q_r^\rho $，以处理非齐次右端项及可变退化性。
• 通过引理 4.4 和 4.5 控制空间与时间的振荡，推广了以往基于一致椭圆性的论证方法。
• 应用一种适应 $ \gamma $ 增长速率的连续性模方法，根据 $ \gamma $ 的符号与大小区分不同情形。

实验结果

研究问题

• RQ1 当方程缺乏一致椭圆性时，能否为奇异或退化抛物型 p-Laplacian 方程的粘性解建立 Hölder 梯度估计？
• RQ2 Ishii-Lions 方法如何被调整以处理具有可变退化性且由 $ \gamma \in (-1,\infty) $ 控制的非一致椭圆型方程？
• RQ3 是否存在一种统一的方法，用于处理抛物型 p-Laplacian 方程的散度型与非散度型正则性理论？
• RQ4 空间梯度 $ \nabla u $ 的最优 Hölder 指数 $ \alpha $ 是多少？它如何依赖于 $ n, p, \gamma $ 以及 $ \|u\|_{L^\infty} $？
• RQ5 能否为方程的正则化版本导出一致估计，并通过极限过程恢复原始奇异/退化问题的结果？

主要发现

• 空间梯度 $ \nabla u $ 在 $ Q_{1/2} $ 上是 Hölder 连续的，且满足 $ \|\nabla u\|_{C^\alpha(Q_{1/2})} \leq C $，其中 $ \alpha \in (0,1) $ 且 $ C > 0 $ 仅依赖于 $ n, \gamma, p $ 以及 $ \|u\|_{L^\infty(Q_1)} $。
• 时间 Hölder 正则性估计的指数为 $ \frac{1+\alpha}{2 - \alpha \gamma} > \frac{1}{2} $，对所有 $ \alpha > 0 $ 与 $ \gamma > -1 $ 均严格大于 $ 1/2 $。
• 证明中建立了一个新的 $ u $ 的连续性模 $ \rho^* $，结合了对数-Lipschitz、Lipschitz 以及时空振荡控制，其仅依赖于 $ n, \gamma, p, M = \|u\|_{L^\infty(Q_1)} $。
• 该方法通过两步 Ishii-Lions 方法与精细缩放，成功克服了缺乏一致椭圆性的问题，扩展了以往依赖 Krylov-Safonov 理论的结果。
• 采用 $ \varepsilon \in (0,1) $ 的正则化技术可获得与 $ \varepsilon $ 无关的统一估计，从而允许取极限，并证明了原始奇异方程的结果。
• 该结果为散度型（$ \gamma = 0 $）与非散度型（$ \gamma = p-2 $）抛物型 p-Laplacian 方程提供了统一的 $ C^{1,\alpha} $ 正则性理论。