[论文解读] H\"older stability of quantitative photoacoustic tomography based on partial data

Faouzi Triki, Qi Xue|arXiv (Cornell University)|Mar 30, 2021

Photoacoustic and Ultrasonic Imaging参考文献 35被引用 3

一句话总结

本文通过针对√D的柯西问题的新型稳定性分析，建立了在边界附近仅获得部分内部数据时，定量光声断层扫描（PAT）中扩散系数和吸收系数重构的霍尔德稳定性。当子区域向边界收缩时，该方法实现了更高的稳定性，霍尔德指数收敛至一个与子区域无关的正常数，数值重建结果在光滑和不连续介质中均表现出较低的相对误差（3–8.5%）。

ABSTRACT

We consider the reconstruction of the diffusion and absorption coefficients of the diffusion equation from the internal information of the solution obtained from the first step of the inverse photoacoustic tomography (PAT). In practice, the internal information is only partially provided near the boundary due to the high absorption property of the medium and the limitation of the equipment. Our main contribution is to prove a H\"older stability of the inverse problem in a subregion where the internal information is reliably provided based on the stability estimation of a Cauchy problem satisfied by the diffusion coefficient. The exponent of the H\"older stability converges to a positive constant independent of the subregion as the subregion contracts towards the boundary. Numerical experiments demonstrates that it is possible to locally reconstruct the diffusion and absorption coefficients for smooth and even discontinuous media.

研究动机与目标

• 解决由于组织吸收和测量限制导致仅在边界附近获得内部数据H(x)时，定量PAT缺乏稳定性分析的问题。
• 证明在测量边界附近子区域中，利用部分内部数据重构扩散系数D(x)和吸收系数µ(x)的霍尔德稳定性。
• 通过推导与子区域大小无关的边界估计，克服现有柯西问题稳定性估计在子区域趋近边界时发散的局限性。
• 在现实部分数据条件下，验证该方法对光滑和不连续介质实现局部重构的可行性。

提出的方法

• 基于内部数据H(x) = µ(x)u(x)，假设Γ ≡ 1，建立√D的柯西问题。
• 利用解uⱼ/u₁的比值，从Hⱼ/H₁中恢复∇lnσ，其中σ = D|u₁|²，推导涉及∇lnσ的方程组。
• 通过数值微分和滤波技术减轻噪声放大效应，重构椭圆方程中√D的系数和源项。
• 通过外推背景或平均值填补柯西问题中的缺失数据，最小化对已知区域附近重建的影响。
• 仅在H(x)超过与噪声相关的阈值的子区域中，应用稳定数值格式求解√D的椭圆PDE。
• 利用恒等式Δ√σ / √σ = ½|∇lnσ|² + ½div(∇lnσ)计算系数项，避免对σ的直接微分。

实验结果

研究问题

• RQ1 当内部数据H(x)仅在边界附近可用时，能否为PAT中重构D和µ的反问题建立霍尔德稳定性？
• RQ2 当重构子区域趋近测量边界时，稳定性估计是否保持有界且非退化？
• RQ3 该重构方法在部分数据条件下能否处理光滑和不连续介质？
• RQ4 随着子区域向边界收缩，稳定性估计的霍尔德指数如何变化？
• RQ5 在实际中，数值噪声和导数放大对重构质量的影响程度如何？

主要发现

• 当子区域向边界收缩时，重构D和µ的霍尔德稳定性指数收敛至一个与子区域无关的正常数，表明在照射源附近稳定性得到改善。
• 光滑介质的数值重构在y > 0.2区域中，D的相对误差为3.42%，µ的相对误差为3.19%，表明精度极高。
• 对于不连续介质，尽管在不连续性附近存在导数放大，算法仍成功重构了包含物，D的相对误差为8.56%，µ的相对误差为4.70%。
• 血管模型的重构结果在D上相对误差为4.74%，在µ上为2.47%，证实了在真实生物结构上的鲁棒性。
• 即使滤波技术降低了不连续性边界上的真实极端值，重建仍保持稳定和准确，表明对数值噪声具有强鲁棒性。
• 重建仅在H(x)超过噪声阈值的子区域中有效且局部化，证实了该方法在部分数据条件下的实际可行性。