[论文解读] H\\"older Stable Recovery of Time-Dependent Electromagnetic Potentials Appearing in a Dynamical Anisotropic Schr\\"odinger Equation

Yavar Kian, Alexander Tetlow|arXiv (Cornell University)|Jan 28, 2019

Numerical methods in inverse problems参考文献 8被引用 6

一句话总结

本论文在简单黎曼流形上的动力各向异性薛定谔方程中，从Dirichlet-to-Neumann映射出发，建立了时间与空间依赖的电磁势的Hölder-稳定恢复。通过去除磁势旋度部分的有界性假设，并结合Carleman估计与微局部分析，作者在最小正则性假设下证明了该反问题的唯一性与Hölder稳定性。

ABSTRACT

We consider the inverse problem of H\\"oldder-stably determining the time- and space-dependent coefficients of the Schr\\"odinger equation on a simple Riemannian manifold with boundary of dimension $n\\geq2$ from knowledge of the Dirichlet-to-Neumann map. Assuming the divergence of the magnetic potential is known, we show that the electric and magnetic potentials can be H\\"older-stably recovered from these data. Here we also remove the smallness assumption for the solenoidal part of the magnetic potential present in previous results.

研究动机与目标

• 研究在黎曼流形上的动力薛定谔方程中，从边界测量数据稳定恢复时间与空间依赖的电磁势这一反问题。
• 在最小正则性假设下，建立电势与磁势恢复的唯一性与Hölder稳定性。
• 消除先前结果中对磁势旋度部分的有界性假设。
• 将稳定性结果从欧几里得区域推广至具有边界的通用简单黎曼流形。
• 为量子力学与波传播模型相关的几何设定中实现稳定反演恢复提供一个框架。

提出的方法

• 利用依赖于测地距离的权函数的Carleman估计，将解的局部化集中在边界附近。
• 应用微局部分析与傅里叶积分算子理论，分析电磁势存在下解的行为。
• 将Dirichlet-to-Neumann映射作为观测数据，其编码了解及其法向导数的边界测量。
• 采用规范不变的表述方式，处理在相位变换下势的固有歧义性。
• 使用带有振荡解的复几何光学试探解，探测势的内部结构。
• 结合X射线变换及其伴随算子的估计，利用各向异性设定下X射线变换的稳定性，从边界数据恢复电势。

实验结果

研究问题

• RQ1 在黎曼流形上，动力薛定谔方程中的时间与空间依赖电磁势能否从Dirichlet-to-Neumann映射唯一恢复？
• RQ2 是否可能在不假设磁势旋度部分有界的情况下，实现电势与磁势的Hölder-稳定恢复？
• RQ3 该反问题的稳定性如何依赖于势的正则性以及底层流形的几何结构？
• RQ4 稳定性估计在多大程度上可推广至非欧几里得、各向异性的黎曼流形？
• RQ5 磁势的散度在恢复过程的稳定性与唯一性中起什么作用？

主要发现

• 作者证明了在维度 $ n \geq 2 $ 的简单黎曼流形上，电势与磁势可从Dirichlet-to-Neumann映射实现Hölder-稳定恢复，且仅需最小正则性假设。
• 稳定性结果无需对磁势旋度部分施加有界性条件，优于早期结果。
• 当势及其法向导数在边界上至五阶导数均一致时，恢复的唯一性得以确立。
• Hölder稳定性估计通过Carleman估计、微局部分析与X射线变换技术的结合推导得出。
• 稳定性常数仅依赖于流形的几何结构、时间区间 $ T $ 以及电势的 $ W^{4,\infty} $-范数。
• 该方法导出了如下形式的定量稳定性估计：$ \|q\|_{L^2} \leq C \left( \gamma^{s_1/p} \lambda \tau^{-6} + \gamma \tau^{-8} \lambda^6 + \tau^{-4} \lambda^{-1} + \tau \right) $，经参数优化后可推出Hölder稳定性。