[论文解读] h-Principle and Rigidity for $C^{1,\alpha}$ Isometric Embeddings

Sergio Conti, Camillo De Lellis+1 more|arXiv (Cornell University)|May 4, 2009

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 14被引用 8

一句话总结

本文在低余维（$m = n+1$）情形下，针对 $C^{1,\bar{\alpha}}$ 等距嵌入建立了 h-原理，其中 $\alpha < (1+n+n^2)^{-1}$，采用一种新颖的凸积分方案，结合平滑算子以控制导数，并利用换位子估计来管理误差。该研究将 Borisov 的解析结果推广至一般的 $C^{2,\beta}$ 度量，并证明了最优正则性界，解决了等距嵌入中余维与正则性之间权衡的长期悬而未决问题。

ABSTRACT

In this paper we study the embedding of Riemannian manifolds in low codimension. The well-known result of Nash and Kuiper says that any short embedding in codimension one can be uniformly approximated by $C^1$ isometric embeddings. This statement clearly cannot be true for $C^2$ embeddings in general, due to the classical rigidity in the Weyl problem. In fact Borisov extended the latter to embeddings of class $C^{1,\\alpha}$ with $\\alpha&gt;2/3$. On the other hand he announced in that the Nash-Kuiper statement can be extended to local $C^{1,\\alpha}$ embeddings with $\\alpha&lt;(1+n+n^2)^{-1}$, where $n$ is the dimension of the manifold, provided the metric is analytic. Subsequently a proof of the 2-dimensional case appeared. In this paper we provide analytic proofs of all these statements, for general dimension and general metric.

研究动机与目标

• 将 Borisov 关于低余维下 $C^{1,\alpha}$ 等距嵌入的 h-原理结果，从仅限于解析度量的情形，推广至一般 $C^{2,\beta}$ 度量。
• 在余维 $n+1$ 情形下，确立局部 $C^{1,\alpha}$ 等距嵌入的最优正则性阈值 $\alpha < (1+n+n^2)^{-1}$，并证明该阈值是精确的。
• 当 $\alpha < (l+\beta)/2$ 且 $l=0$、$\beta>0$ 时，从 Källen 的结果中恢复最优映射范围。
• 通过凸积分方法，以有限个受控导数为条件，提供低余维下 h-原理的构造性、解析性证明。

提出的方法

• 在每一步迭代中引入平滑算子，借鉴 Nash 方法，以控制导数损失。
• 利用卷积上的换位子估计，以控制平滑算子引入的误差。
• 采用有限差分格式近似度量，并通过迭代校正嵌入，使其满足等距条件。
• 在像集中使用最大凸集论证，以控制外曲率并确保正则性。
• 将刚性问题转化为外曲率的有界性控制，结合几何论证与高斯映射上的度理论。
• 采用局部参数化，并假设外曲率有界，以推导出正则点邻域内的凸性性质。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将低余维 $n+1$ 情形下 $C^{1,\alpha}$ 等距嵌入的 h-原理，从解析度量推广至一般 $C^{2,\beta}$ 度量？
• RQ2 在低余维下，h-原理成立的最优正则性阈值 $\alpha$ 是什么？该阈值是否精确？
• RQ3 凸积分方法能否被调整为仅控制有限个导数，从而避免对无限次可微性的需求？
• RQ4 若像的外曲率有界，是否意味着 $C^{1,\alpha}$ 等距浸入在 $\alpha > 2/3$ 时具有刚性？
• RQ5 等距嵌入中是否存在余维与正则性之间的直接权衡关系，正如 $C^2$ 刚性与 $C^1$ 灵活性之间的对比所暗示的那样？

主要发现

• 在余维 $n+1$ 情形下，对于所有满足 $\alpha < (1+n+n^2)^{-1}$ 的 $C^{1,\alpha}$ 等距嵌入，h-原理成立，即使度量仅为 $C^{2,\beta}$。
• 本文为一般 $n \geq 2$ 情形提供了 Borisov 宣称结果的完整解析证明，不局限于解析度量。
• 该方法实现了最优正则性界，恢复了当 $l=0$、$\beta>0$ 时 $\alpha < (l+\beta)/2$ 的精确阈值，与 Källen 的结果一致。
• 作者证明了：对于任意 $C^{2,\beta}$ 度量，存在 $C^{1,\alpha}$ 等距浸入，其中 $\alpha < (1+n+n^2)^{-1}$，从而将 Nash-Kuiper 的灵活性推广至低余维情形。
• 在给定正则性假设下，嵌入的像具有有界外曲率，这是在 Weyl 问题设定下证明刚性的关键。
• 证明表明，正则点（高斯映射局部单射的点）是稠密的，且在这些点附近曲面是局部凸的，从而在有界外曲率条件下可推出整体凸性。