[论文解读] H-principle for the 2D incompressible porous media equation with viscosity jump

Francisco Mengual|arXiv (Cornell University)|Apr 7, 2020

Navier-Stokes equation solutions参考文献 32被引用 7

一句话总结

本文为具有粘性跳跃（|A| < 1）的二维不可压缩多孔介质（IPM）方程建立了 h-原理，将先前针对恒定粘性（A = 0）的结果加以扩展。通过凸积分法，构造了 $ C_t L^{∞w*}_∞ $ 中无穷多组弱解，包括紧支集解和不稳定 Muskat 问题的 $ \Theta_A $-混合解，证明即使界面处无 Rayleigh-Taylor 不稳定性或涡度，宏观混合仍会发生。

ABSTRACT

In this work we extend the results in [6,32] on the 2D IPM system with constant viscosity (Atwood number $A_μ=0$) to the case of viscosity jump ($|A_μ|&lt;1$). We prove a h-principle whereby (infinitely many) weak solutions in $C_tL_{w^*}^{\infty}$ are recovered via convex integration whenever a subsolution is provided. As a first example, non-trivial weak solutions with compact support in time are obtained. Secondly, we construct mixing solutions to the unstable Muskat problem with initial flat interface. As a byproduct, we check that the connection, established by Székelyhidi for $A_μ=0$, between the subsolution and the Lagrangian relaxed solution of Otto, holds for $|A_μ|&lt;1$ too. For different viscosities, we show how a pinch singularity in the relaxation prevents the two fluids from mixing wherever there is neither Rayleigh-Taylor nor vorticity at the interface.

研究动机与目标

• 将二维不可压缩多孔介质（IPM）系统中 h-原理框架从恒定粘性（A = 0）推广至粘性跳跃（|A| < 1）的情形。
• 为满足 |A| < 1 条件的 IPM 系统，在 $ C_t L^{∞w*}_∞ $ 中建立无穷多组弱解的存在性，包括时间上紧支集的解。
• 针对初始界面为平面的不稳定 Muskat 问题，构造 $ \Theta_A $-混合解，证明即使界面处无 Rayleigh-Taylor 或涡度，仍可实现宏观尺度混合。
• 验证由 Székelyhidi 对 A = 0 情况建立的次解与拉格朗日松弛解之间的联系，在 |A| < 1 条件下依然成立。
• 分析不同粘性条件下松弛过程中“夹紧奇点”的作用，表明当界面处既无 Rayleigh-Taylor 不稳定性也无涡度时，夹紧奇点会阻止混合。

提出的方法

• 本文采用凸积分法，从给定的次解中恢复 IPM 系统的弱解，将 h-原理推广至粘性跳跃（|A| < 1）的情形。
• 次解被定义为 IPM 系统线性化版本的弱解，满足凸积分所需的结构约束。
• 构造过程依赖于 Atwood 数 $ A = A_\mu = (\mu^+ - \mu^-)/(\mu^+ + \mu^-) \in (-1,1) $，该参数表征粘性对比度。
• 采用 Otto 提出的拉格朗日松弛解 $ \Theta_A $ 作为混合的宏观模型，且证明解在弱-* 拓扑下收敛至 $ \Theta_A $。
• 通过求解由界面处跳跃条件导出的自由边界 $ d_A^\pm(t) $ 的柯西问题，分析混合区的时间演化，包括有界区域中的边界效应。
• 利用 Picard-Lindelöf 定理证明自由边界演化的存在性与唯一性，表明混合区将在有限时间内坍缩为稳定平面相。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将二维 IPM 系统的 h-原理从恒定粘性（A = 0）推广至粘性跳跃（|A| < 1）的情形？
• RQ2 当 |A| < 1 时，IPM 系统是否存在非平凡的时间紧支集弱解？
• RQ3 当 |A| < 1 时，能否为初始界面为平面的不稳定 Muskat 问题构造 $ \Theta_A $-混合解？
• RQ4 Otto 和 Székelyhidi 在 A = 0 情况下建立的次解与拉格朗日松弛解之间的联系，在 |A| < 1 条件下是否仍然成立？
• RQ5 当界面处既无 Rayleigh-Taylor 不稳定性也无涡度时，松弛过程中夹紧奇点在阻止混合方面起何种作用？

主要发现

• 本文证明了在 |A| < 1 条件下，IPM 系统在 $ C_t L^{∞w*}_∞ $ 中存在无穷多组弱解，包括时间上紧支集的解。
• 对于初始界面为平面的不稳定 Muskat 问题，本文构造了无穷多组 $ \Theta_A $-混合解，其表现出有限混合速度的宏观混合。
• 混合区随时间线性增长，且解在弱-* 拓扑下收敛至粗粒化相 $ \Theta_A $，证实了 |A| < 1 条件下松弛解模型的有效性。
• 本文确认了此前仅在 A = 0 时成立的次解与拉格朗日松弛解之间的联系，在 |A| < 1 条件下依然成立。
• 当 $ A \neq 0 $ 时，松弛过程中的夹紧奇点会阻止混合，即使系统本身处于不稳定状态，且界面处既无 Rayleigh-Taylor 不稳定性也无涡度。
• 在有界区域中，混合区在有限时间 $ t_A $ 内坍缩，形成稳定平面相，且 $ t_A $ 有限，并通过自由边界 $ f_A^\pm(t) $ 的柯西问题显式表征。