[论文解读] H-Space structures on spaces of metrics of positive scalar curvature

Georg Frenck|arXiv (Cornell University)|Apr 2, 2020

Advanced Differential Geometry Research参考文献 10被引用 4

一句话总结

该论文在自旋流形上正标量曲率度量的空间上构造了一个几何H-空间乘法，这些流形在其自身的切丛2类型下是零cobordant的。基于相对Spin×Bπ-cobordism类的图形演算，证明了该乘法是同伦结合与同伦交换的，并将该结构应用于证明微分同胚群作用在psc-度量空间上的刚性准则，关键结果表明在高维中，柱面空间与一个圆盘的双重在H-空间等价下是同伦等价的。

ABSTRACT

We construct and study an $H$-space multiplication on $\mathcal R^+(M)$ for manifolds $M$ which are nullcobordant in their own tangential $2$-type. This is applied to give a rigidity criterion for the action of the diffeomorphism group on $\mathcal R^+(M)$ via pullback. We also compare this to other known multiplicative structures on $\mathcal R^+(M)$.

研究动机与目标

• 在自旋流形上正标量曲率度量的空间上构造一个几何H-空间乘法，这些流形在其切丛2类型下是零cobordant的。
• 通过该H-空间结构建立微分同胚群作用在psc-度量空间上的刚性准则。
• 将新构造的H-空间结构与现有正标量曲率度量空间上的乘法结构进行比较。
• 研究H-空间结构对零cobordism选择的独立性及其对度量空间之间同伦等价的影响。
• 探讨在双倍零cobordism的背景下，稳定度量与H-空间等价的存在性，特别是球面和圆盘的情形。

提出的方法

• 通过在Ω^Spin,π_d(M₀ ∐ M₁, M)中的相对cobordism类定义映射S(X_W): R⁺(M) × R⁺(M) → R⁺(M)，从而诱导H-空间乘法。
• 发展图形演算以在cobordism集合中进行计算，实现同伦结合性与交换性的显式验证。
• H-空间结构通过与零cobordism W相关的手术映射S(W)定义，乘法通过粘合两个相反cobordism副本与一个W副本实现。
• 该构造依赖于参数化Gromov–Lawson–Schoen–Yau手术定理，以确保度量空间包含中的弱同伦等价。
• 论文利用零cobordism上右稳定与左稳定度量的存在性，构造柱面空间与双倍空间之间度量空间的同伦等价。
• 关键技术工具是映射cl_{G_rst}，它将稳定度量粘合到零cobordism上，从而从柱面空间到双倍空间产生一个同伦等价。

实验结果

研究问题

• RQ1 通过零cobordism W构造的R⁺(M)上的H-空间结构是否依赖于W的选择？若依赖，不同选择之间有何关系？
• RQ2 能否利用H-空间结构证明微分同胚群在R⁺(M)上的作用在同伦范畴中是平凡的？
• RQ3 是否存在自然的H-空间等价，将M上柱面的度量空间与零cobordism的双倍的度量空间联系起来？
• RQ4 在何种条件下，带有边界条件的度量空间包含会诱导出弱同伦等价？
• RQ5 能否证明由标准圆盘D^d诱导的R⁺(S^{d-1})上的H-空间结构，与柱面空间R⁺(S^{d-2}×[0,1])_{g₀,g₀}上的H-空间结构通过粘合映射cl_{g_tor}是等价的？

主要发现

• 对于维度≥6且在Spin×Bπ₁(M)下为零cobordant的自旋流形M，其正标量曲率度量空间R⁺(M)具有同伦结合与同伦交换的H-空间结构。
• H-空间乘法通过与零cobordism W相关的手术映射几何定义，所得映射μ_W: R⁺(M) × R⁺(M) → R⁺(M) 在W的选择上至多是H-空间等价下不变的。
• 对于维度≥6的单连通自旋流形M，若其在自身切丛2类型下为零cobordant，则其定向微分同胚群在R⁺(M)上的作用在同伦范畴中是平凡的。
• 当d ≥ 7时，映射cl_{g_tor}: (R⁺(S^{d-2}×[0,1])_{g₀,g₀}, μ_cyl) → (R⁺(S^{d-1}), μ_D) 是一个H-空间等价。
• 由标准圆盘D^d诱导的R⁺(S^{d-1})上的H-空间结构，通过粘合映射cl_{g_tor}，与柱面空间R⁺(S^{d-2}×[0,1])_{g₀,g₀}上的H-空间结构等价。
• R⁺(M)上的H-空间结构在由非零α-不变量的cobordism诱导的同伦等价下保持不变，但此类映射不与恒等映射同伦。