[论文解读] H-type foliations

Fabrice Baudoin, Erlend Grong+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 6, 2018

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 5被引用 5

一句话总结

本文将H型叶状结构引入子黎曼几何中，作为K-接触几何的推广，建立了在水平 Ricci 曲率下界条件下的直径估计与次拉普拉斯算子特征值估计。本文对具有平行水平 Clifford 结构的H型叶状结构进行了分类，并在余维数大于2时证明了水平爱因斯坦性质，同时给出了水平 Ricci 曲率的显式计算。

ABSTRACT

With a view toward sub-Riemannian geometry, we introduce and study H-type foliations. These structures are natural generalizations of K-contact geometries which encompass as special cases K-contact manifolds, twistor spaces, 3K contact manifolds and H-type groups. Under an horizontal Ricci curvature lower bound, we prove on those structures sub-Riemannian diameter upper bounds and first eigenvalue estimates for the sub-Laplacian. Then, using a result by Moroianu-Semmelmann, we classify the H-type foliations that carry a parallel horizontal Clifford structure. Finally, we prove an horizontal Einstein property and compute the horizontal Ricci curvature of those spaces in codimension more than 2.

研究动机与目标

• 通过引入H型叶状结构作为子黎曼结构的更广类，推广K-接触几何。
• 在水平 Ricci 曲率下界条件下，建立子黎曼直径的上界估计以及次拉普拉斯算子的第一特征值估计。
• 利用Moroianu-Semmelmann的结果，对具有平行水平 Clifford 结构的H型叶状结构进行分类。
• 证明水平爱因斯坦性质，并在余维数大于2时显式计算水平 Ricci 曲率。

提出的方法

• 将H型叶状结构作为K-接触流形、扭量空间、3K-接触流形以及H型群的自然推广引入。
• 通过几何比较技术，利用对水平 Ricci 曲率的曲率估计，推导出子黎曼直径的估计。
• 利用次拉普拉斯算子的谱理论，在相同曲率假设下建立第一特征值估计。
• 借助Moroianu与Semmelmann关于平行水平 Clifford 结构的结果，对具有此类结构的H型叶状结构进行分类。
• 通过水平曲率计算，证明在余维数大于2时的水平爱因斯坦性质。
• 利用叶状结构与水平分布的结构性质，显式计算余维数大于2的H型叶状结构的水平 Ricci 曲率。

实验结果

研究问题

• RQ1 在水平 Ricci 曲率有下界条件下，H型叶状结构的几何与谱性质是什么？
• RQ2 哪些H型叶状结构具有平行水平 Clifford 结构，如何对它们进行分类？
• RQ3 H型叶状结构在何种条件下满足水平爱因斯坦条件？
• RQ4 如何在余维数大于2的H型叶状结构中显式计算水平 Ricci 曲率？
• RQ5 H型叶状结构如何推广已知结构，如K-接触流形与扭量空间？

主要发现

• 在水平 Ricci 曲率有下界条件下，本文建立了H型叶状结构的子黎曼直径的上界估计。
• 在相同曲率条件下，本文对H型叶状结构上次拉普拉斯算子的第一特征值给出了下界估计。
• 利用Moroianu与Semmelmann的结果，完全分类了携带平行水平 Clifford 结构的H型叶状结构。
• 本文证明了余维数大于2的H型叶状结构满足水平爱因斯坦条件。
• 推导出了余维数大于2的H型叶状结构的水平 Ricci 曲率的显式公式。
• H型叶状结构类包含了K-接触流形、扭量空间、3K-接触流形以及H型群作为特例。