[论文解读] H2-optimal approximation of MIMO linear dynamical systems

Paul Van Dooren, Kyle A. Gallivan+1 more|ArXiv.org|Jul 30, 2008

Model Reduction and Neural Networks参考文献 11被引用 3

一句话总结

本文提出了一种针对多输入多输出（MIMO）线性动态系统的ℋ₂-最优模型降阶方法，通过在连续时间和离散时间设置下，利用切向插值条件表征ℋ₂-范数误差的驻点。主要贡献在于利用与若尔当块结构相关的插值约束，对最优降阶模型进行参数化，从而在状态空间实现非唯一化表示的情况下仍能实现基于梯度的优化。

ABSTRACT

We consider the problem of approximating a multiple-input multiple-output (MIMO) $p imes m$ rational transfer function $H(s)$ of high degree by another $p imes m$ rational transfer function $\hat H(s)$ of much smaller degree, so that the ${\cal H}_2$ norm of the approximation error is minimized. We characterize the stationary points of the ${\cal H}_2$ norm of the approximation error by tangential interpolation conditions and also extend these results to the discrete-time case. We analyze whether it is reasonable to assume that lower-order models can always be approximated arbitrarily closely by imposing only first-order interpolation conditions. Finally, we analyze the ${\cal H}_2$ norm of the approximation error for a simple case in order to illustrate the complexity of the minimization problem.

研究动机与目标

• 开发一种针对MIMO线性动态系统的降阶ℋ₂-最优逼近方法。
• 在连续时间和离散时间系统中，以插值条件的形式表征ℋ₂-范数误差的驻点。
• 通过推导非冗余、参数无关的驻点条件，解决状态空间实现的非唯一性问题。
• 通过低阶系统实例分析ℋ₂逼近问题中局部极小值的存在性与性质。
• 提供一种基于西尔维斯特方程表述而非若尔当标准型的数值鲁棒框架，用于ℋ₂-最优模型降阶。

提出的方法

• 利用威尔逊公式推导平方ℋ₂-范数误差的梯度，从而实现对状态空间参数的优化。
• 通过涉及传递函数及其对偶函数的切向插值条件，表征ℋ₂-最优逼近器，其表达式以若尔当块参数形式呈现。
• 利用西尔维斯特方程以数值稳定的形式表达插值条件，避免因若尔当型导致的病态问题。
• 在离散时间情形下，应用对偶传递函数$ H_*(z) = z^{-1}H^T(z^{-1}) $，以重新表述条件。
• 采用含多项式向量的矩阵方程，推导高阶极点的条件，推广一阶结果。
• 通过分析麦克斯韦度为一和二的系统误差范数结构，证明存在多个局部极小值。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可以建立与状态空间参数化无关的、表征ℋ₂-最优MIMO逼近的插值条件？
• RQ2 当降阶模型具有高阶若尔当块而非简单极点时，插值条件如何变化？
• RQ3 是否仅通过一阶插值条件即可实现对所有低阶模型的任意接近逼近？
• RQ4 西尔维斯特方程表述在数值稳定性方面相较于若尔当标准型有何优势？
• RQ5 在低阶系统中，ℋ₂逼近问题中最多可能存在多少个局部极小值？

主要发现

• ℋ₂-范数误差的驻点对应于涉及传递函数及其对偶函数的切向插值条件，其阶数取决于若尔当块的大小。
• 对于一阶极点，条件退化为在降阶极点处匹配传递函数及其一阶导数，推广了[ML67]的SISO结果。
• 对麦克斯韦度为一和二的系统，其误差ℋ₂-范数表明存在多个局部极小值，说明该优化问题具有非凸性。
• 采用基于西尔维斯特方程的插值条件，为若尔当型表述提供了一种数值鲁棒的替代方案，后者在高阶极点附近易出现病态。
• 当$\min(p,m) > 1$时，不存在对所有度为$ n $的有理传递函数集合的全局光滑参数化，但可通过西尔维斯特表述实现局部光滑参数化。
• 在离散时间情形下，利用对偶传递函数$ H_*(z) $实现完全表征，通过在$ (\lambda - z) $中的多项式展开，推导出类似插值条件。