[论文解读] Haag's theorem in renormalised quantum field theories

Lutz Klaczynski|arXiv (Cornell University)|Feb 1, 2016

Quantum Mechanics and Applications被引用 5

一句话总结

本文主张，由于自由场与相互作用场之间的幺正等价性在相互作用存在时被破坏，因此哈格定理意味着在相互作用存在的情况下，规范量子场论本质上是平凡的。它表明，重整化通过违背哈格定理核心的幺正性假设，规避了这一问题，从而在数学障碍存在的情况下仍能实现物理上有意义的相互作用场论。

ABSTRACT

We review a package of no-go results in axiomatic quantum field theory with Haag's theorem at its centre. Since the concept of operator-valued distributions in this framework comes very close to what we believe canonical quantum fields are about, these results are of consequence to quantum field theory: they suggest the seeming absurdity that this highly victorious theory is incapable of describing interactions. We single out unitarity of the interaction picture's intertwiner as the most salient provision of Haag's theorem and critique canonical perturbation theory to argue that renormalisation bypasses Haag's theorem by violating this very assumption.

研究动机与目标

• 探讨哈格定理对规范量子场论的基础性影响，特别是其断言相互作用场与自由场无法幺正等价的主张。
• 研究为何标准微扰量子场论看似避开了由哈格定理所暗示的平凡性，尽管其数学上存在不一致。
• 阐明重整化如何作为一种机制，规避哈格定理所依赖的假设，尤其是幺正等价性的要求。
• 分析相互作用 picture 与正则对易关系在哈格定理与重整化背景下的作用。
• 调和微扰量子场论的成功与表明此类理论应为平凡的公理化框架之间的矛盾。

提出的方法

• 在威格曼公理与里希-施利德特定理的背景下分析哈格定理，以证明真空态是循环的，且场算符必须满足自由场方程。
• 证明在存在相互作用时，相互作用 picture 的互变算符无法幺正，除非违背幺正性，否则将导致平凡性。
• 应用盖尔曼与洛夫定理，表明相互作用的绝热开关导致非幺正演化，这对重整化 S 矩阵计算至关重要。
• 利用乔斯特-施罗尔定理与谱分析，表明定义在质量双曲面上的场算符必须满足自由场对易关系。
• 应用楔形边缘定理，证明某些对易子分布为零，从而得出结论：场对易子完全由威格曼函数决定。
• 主张重整化通过引入反项破坏哈格定理的幺正性假设，从而改变希尔伯特空间结构，使非平凡相互作用成为可能。

实验结果

研究问题

• RQ1 为何哈格定理意味着在相互作用存在时，规范量子场论在数学上是平凡的？
• RQ2 相互作用 picture 中幺正等价性的失败如何导致相互作用场无法与自由场幺正等价？
• RQ3 重整化以何种方式违背哈格定理的假设，尤其是互变算符的幺正性？
• RQ4 盖尔曼与洛夫定理在即使完整互变算符非幺正的情况下，如何仍能实现非平凡 S 矩阵矩阵元？
• RQ5 威格曼公理与场算符的谱性质如何约束相互作用量子场的结构？

主要发现

• 哈格定理意味着在标准公理化框架下，自由场与相互作用场之间唯一的幺正互变算符是平凡的，导致 S 矩阵平凡。
• 在存在相互作用时，相互作用 picture 的互变算符无法幺正，从而得出结论：相互作用场无法与自由场幺正等价。
• 重整化通过违背幺正性假设规避了哈格定理：反项破坏了定理所要求的幺正等价性。
• 盖尔曼与洛夫定理表明，绝热开关的相互作用可导致非平凡 S 矩阵矩阵元，即使完整互变算符非幺正。
• 对场算符的谱分析表明，它们必须支持在质量双曲面上，且其对易子完全由威格曼函数决定，从而导致 Wightman 有序收缩。
• 场对易子的真空期望值由 $ W(f,h) - W(h,f) $ 给出，且当 $ n $ 为奇数时高阶威格曼函数为零，而偶数阶函数为 Wightman 收缩的和。