[论文解读] Haagerup approximation property and positive cones associated with a von Neumann algebra

Rui Okayasu, Reiji Tomatsu|arXiv (Cornell University)|Mar 16, 2014

Advanced Operator Algebra Research参考文献 27被引用 6

一句话总结

本文利用阿隆基（Araki）关于循环和分隔向量的一参数正锥族，引入了冯诺依曼代数的 α-哈格尔普逼近性质（α-HAP），并证明了 α-HAP 与 α ∈ [0, 1/2] 的选择无关。它建立了两种现有哈格尔普逼近性质定义之间的等价性——一种基于标准形式，另一种基于完全正映射——并将结果推广，证明了非交换 L^p-空间（1 < p < ∞）中的 L^p-HAP 与 p 的选择无关。

ABSTRACT

We introduce the notion of the $α$-Haagerup approximation property for $α\in[0,1/2]$ using a one-parameter family of positive cones studied by Araki and show that the $α$-Haagerup approximation property actually does not depend on a choice of $α$. This gives us a direct proof of the fact that two characterizations of the Haagerup approximation property are equivalent, one in terms of the standard form and the other in terms of completely positive maps. We also discuss the $L^p$-Haagerup approximation property for a non-commutative $L^p$-spaces associated with a von Neumann algebra ($1

研究动机与目标

• 解决关于冯诺依曼代数中两种不同哈格尔普逼近性质（HAP）定义是否等价的开放问题。
• 利用与循环和分隔向量相关联的阿隆基一参数正锥族，引入并研究 α-哈格尔普逼近性质。
• 证明 α-HAP 与 [0, 1/2] 中 α 的选择无关，从而统一两种 HAP 定义。
• 将 HAP 推广至非交换 L^p-空间（1 < p < ∞），并证明 L^p-HAP 与 p 的选择无关。
• 在 L^p-空间背景下，建立 HAP 与完全正映射逼近性质（CPAP）之间的联系。

提出的方法

• 利用 α ∈ [0, 1/2] 的阿隆基正锥 P^α 定义 α-Haagerup 逼近性质，这些正锥在标准锥 P^0、自然锥 P^{1/4} 和对偶锥 P^{1/2} 之间插值。
• 通过证明：若冯诺依曼代数 M 对某个 α ∈ [0, 1/2] 满足 α-HAP，则对所有 α ∈ [0, 1/2] 均满足，从而证明 α-HAP 与 α 的选择无关。
• 使用 Calderón 的复插值方法关联不同 p 的 L^p-空间，特别是将 L^2(M)（标准形式）与 1 < p < ∞ 的 L^p(M) 关联起来。
• 通过关联的 GNS 表示和实现映射，在 L^p(M) 上构造一个正常、完全正、紧致算子的网，其强收敛于恒等算子。
• 利用复插值的重叠定理，将紧致性和收敛性性质从 L^p 传递到 L^2，反之亦然。
• 应用 A. M. Torpe 和 L. M. Schmitt 的技术，将 L^p(M) 上的完全正映射与 M 上的完全正映射关联，避免依赖于核心代数的保持性结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于一般的冯诺依曼代数，基于标准形式的哈格尔普逼近性质定义与基于完全正映射的定义是否等价？
• RQ2 当通过阿隆基的一参数正锥族定义时，α-Haagerup 逼近性质是否依赖于 α ∈ [0, 1/2] 的选择？
• RQ3 在非交换 L^p-空间（1 < p < ∞）中，L^p-Haagerup 逼近性质是否与 p 的选择无关？
• RQ4 L^p-空间中 HAP 与 CPAP 之间的等价性是否可推广至 HAP 设置，类似于已知的 CPAP 等价性？
• RQ5 阿隆基的正锥在统一哈格尔普逼近性质的不同表述中起什么作用？

主要发现

• α-Haagerup 逼近性质与 α ∈ [0, 1/2] 无关，即若冯诺依曼代数 M 对某个该区间内的 α 满足 α-HAP，则对区间内所有 α 均满足。
• 两种哈格尔普逼近性质定义——通过标准形式和通过完全正映射——是等价的，且该等价性现通过使用阿隆基锥的直接、内在论证得以确立。
• L^p-Haagerup 逼近性质与 p ∈ (1, ∞) 无关，因此 M 若对某个 p ∈ (1, ∞) 满足 L^p-HAP，则对所有 p ∈ (1, ∞) 均满足。
• 冯诺依曼代数 M 具有哈格尔普逼近性质，当且仅当对所有 p ∈ (1, ∞) 具有 L^p-HAP，且这等价于存在一个在 L^p(M) 上正常、完全正、紧致算子的网，强收敛于恒等算子。
• L^p-HAP 的 p-独立性证明依赖于复插值和重叠定理，该定理允许在 L^p 与 L^2 之间传递紧致性和强收敛性。
• 该结果将已知的 M 上 CPAP 与 L^p(M) 上 CPAP 的等价性推广至 HAP 设置，表明 M 具有 HAP 当且仅当对某个（或所有） p ∈ (1, ∞)，L^p(M) 具有 CPAP。