[论文解读] Haar-finite sets in metric groups and their applications

Тарас Банах, Eliza Jabłońska|arXiv (Cornell University)|Jun 25, 2017

Advanced Topology and Set Theory参考文献 19被引用 4

一句话总结

本文在度量群中引入了零有限集这一新概念，这是统一Haar零集与Haar疏集的一类小集合。证明了在完备度量阿贝尔群中，Borel零有限集既是Haar零集也是Haar疏集，并将其应用于函数方程，表明在完备度量线性空间的开凸集上，若中点凸函数在非零有限Borel集上有上界，则其连续——从而解决了函数方程领域长期存在的一个问题。

ABSTRACT

In the paper we introduce a new family of small sets which is tightly connected with two well known $\sigma$-ideals: of Haar-null sets and of Haar-meager sets. We define a subset $A$ of a topological group $X$ to be $\mathit{null}$-$\mathit{finite}$ if there exists an infinite compact subset $K\subset X$ such that for every $x\in X$ the intersection $K\cap (x+A)$ is finite. We prove that each null-finite Borel set in a complete metric Abelian group is Haar-null and Haar-meager. The Borel restriction in the above result is essential as each non-discrete metric Abelian group is the union of two null-finite sets. Applying null-finite sets to the theory of functional equations and inequalities, we prove that a mid-point convex function $f:G o\mathbb R$ defined on an open convex subset $G$ of a metric linear space $X$ is continuous if it is upper bounded on a subset $B$ which is not null-finite and whose closure is contained in $G$. This gives an alternative short proof of a known generalization of Bernstein-Doetsch theorem (saying that a mid-point convex function $f:G o\mathbb R$ defined on an open covex subset $G$ of a metric linear space $X$ is continuous if it is upper bounded on a non-empty open subset $B$ of $G$). Since Borel null-finite sets are Haar-meager and Haar-null, we conclude that a mid-point convex function $f:G o\mathbb{R}$ defined on an open convex subset $G$ of a complete linear metric space $X$ is continuous if it is upper bounded on a Borel subset $B\subset G$ which is not Haar-null or not Haar-meager in $X$. The last result resolves an old problem in the theory of functional equations and inequalities posed by Baron and Ger in 1983.

研究动机与目标

• 在拓扑群中定义并研究一类新的小集合，称为零有限集，其统一了Haar零集与Haar疏集的性质。
• 在完备度量阿贝尔群中建立Borel零有限集既是Haar零集也是Haar疏集的结论，回应了群上测度论中的基础性问题。
• 将零有限集理论应用于函数方程，特别是中点凸函数的连续性判别准则。
• 解决Baron与Ger于1983年提出的关于中点凸函数连续性的问题，即在更弱的有界性假设下是否仍保持连续。

提出的方法

• 定义拓扑群 $ X $ 的子集 $ A \subset X $ 为零有限集，若存在一个无限紧致子集 $ K \subset X $，使得对每个 $ x \in X $，都有 $ K \cap (x + A) $ 为有限集。
• 利用完备度量阿贝尔群的结构，证明每个Borel零有限集既是Haar零集也是Haar疏集。
• 通过分析中点凸函数在非零有限Borel集上的有界性，将零有限集框架应用于函数方程。
• 利用Borel零有限集既是Haar疏集也是Haar零集的性质，推导出在更弱有界性条件下的连续性结果。
• 借助 $ \sigma $-理想理论与拓扑群结构，建立小集合性质与实值函数正则性之间的联系。
• 通过将开有界性假设替换为有界集的非零有限性，提供Bernstein-Doetsch定理的简短替代证明。

实验结果

研究问题

• RQ1 在拓扑群中，零有限集、Haar零集与Haar疏集之间有何关系？
• RQ2 在完备度量阿贝尔群中，Borel零有限集是否必然同时为Haar零集与Haar疏集？
• RQ3 Bernstein-Doetsch定理中的有界性条件能否从开集减弱为非零有限Borel集？
• RQ4 若中点凸函数在完备度量线性空间的开凸子集上定义，且在非零有限Borel集上有上界，则其是否仍保持连续？
• RQ5 零有限集能否用于解决Baron与Ger于1983年提出的关于中点凸函数连续性的问题？

主要发现

• 在完备度量阿贝尔群中，每个Borel零有限集既是Haar零集也是Haar疏集。
• 每个非离散度量阿贝尔群均可被划分为两个零有限集，表明主定理中Borel限制是必要的。
• 定义在度量线性空间的开凸子集 $ G $ 上的中点凸函数 $ f: G \to \mathbb{R} $，若其在某个子集 $ B \subset G $ 上有上界，且 $ B $ 非零有限集，且 $ \overline{B} \subset G $，则该函数连续。
• 该结果通过将开有界性条件替换为非零有限性，提供了广义Bernstein-Doetsch定理的新且简洁的证明。
• 在完备线性度量空间中，若中点凸函数在Borel子集 $ B \subset G $ 上有上界，且 $ B $ 不是Haar零集或不是Haar疏集，则该函数连续，从而解决了Baron与Ger于1983年提出的问题。
• 零有限集作为统一框架，连接了Haar零集与Haar疏集，为函数方程与拓扑群理论提供了新工具。