[论文解读] Haar states and L\'evy processes on the unitary dual group

Guillaume Cébron, Michaël Ulrich|arXiv (Cornell University)|May 29, 2015

Random Matrices and Applications参考文献 32被引用 6

一句话总结

本论文研究了在酉对偶群上（一种推广了酉群U(n)的非交换结构）的哈尔态与莱维过程。论文证明了在五种标准卷积（自由、张量、布尔、单调、反单调）下哈尔态不存在，但为自由卷积和张量卷积建立了更弱的“哈尔迹”的存在性。自由哈尔迹被证明是当维度趋于无穷时，哈尔酉矩阵分块的分布极限，且识别出一类自由莱维过程作为经典酉群上随机矩阵分块的极限。

ABSTRACT

We study states on the universal noncommutative *-algebra generated by the coefficients of a unitary matrix, or equivalently states on the unitary dual group. Its structure of dual group in the sense of Voiculescu allows to define five natural convolutions. We prove that there exists no Haar state for those convolutions. However, we prove that there exists a weaker form of absorbing state, that we call Haar trace, for the free and the tensor convolutions. We show that the free Haar trace is the limit in distribution of the blocks of a Haar unitary matrix when the dimension tends to infinity. Finally, we study a particular class of free L\'evy processes on the unitary dual group which are also the limit of the blocks of random matrices on the classical unitary group when the dimension tends to infinity.

研究动机与目标

• 研究酉对偶群上五种标准卷积（自由、张量、布尔、单调、反单调）的哈尔态是否存在。
• 为自由卷积和张量卷积建立一个更弱的吸收态，称为“哈尔迹”。
• 将自由哈尔迹表征为当维度趋于无穷时，哈尔酉矩阵分块的分布极限。
• 识别出一类在酉对偶群上出现的自由莱维过程，其为经典酉群上随机矩阵过程的极限。
• 提供一种新的随机矩阵分块收敛到自由莱维过程的证明，并建立自由莱维过程在福克空间上的嵌入定理。

提出的方法

• 通过冯诺依曼代数框架构建酉对偶群U⟨n⟩为带有酉矩阵关系的非交换∗-代数Unc_n，并利用冯诺依曼的对偶群框架为五种卷积结构赋予五种卷积。
• 利用组合自由概率与自由累积量理论，证明在Mn(C)上的归一化迹与圆周上的哈尔测度的自由积态是自由卷积下的哈尔迹。
• 应用舒尔曼三元组理论刻画U⟨n⟩上的自由莱维过程，通过福克空间上的随机微分方程推导其生成元。
• 证明在U(nN)上的布朗运动的分块在∗-分布下收敛于U⟨n⟩上的自由莱维过程，当N → ∞。
• 通过取哈尔酉矩阵分块的极限，构造自由哈尔迹的随机矩阵模型，证明其在分布下收敛于自由哈尔迹。
• 利用表示jt(uij) = E1iUtEj1将U⟨n⟩上的自由莱维过程嵌入福克空间构造，证明自由莱维过程的嵌入定理。

实验结果

研究问题

• RQ1 在酉对偶群上，五种标准卷积（自由、张量、布尔、单调、反单调）是否存在哈尔态？
• RQ2 是否可以为自由卷积和张量卷积定义一个更弱的吸收态，称为“哈尔迹”？
• RQ3 自由哈尔迹是否为哈尔酉矩阵分块在矩阵维度趋于无穷时的分布极限？
• RQ4 哪些自由莱维过程在酉对偶群上可作为经典酉群上莱维过程分块的极限出现？
• RQ5 能否通过一种新颖的随机分析方法重新证明随机矩阵分块收敛到自由莱维过程？

主要发现

• 当n ≥ 2时，在酉对偶群上，五种标准卷积中均不存在哈尔态。
• 自由卷积和张量卷积存在哈尔迹，但布尔、单调和反单调卷积不存在哈尔迹。
• 自由哈尔迹是大小为nN的哈尔酉矩阵的n²个分块在N → ∞时的分布极限。
• 自由哈尔迹是经典酉群U(nN)上布朗运动的分块在N → ∞时的极限。
• 证明了一类特定的自由莱维过程在U⟨n⟩上是文献[9]中莱维过程模型的分块在N → ∞时的极限。
• 由Jt(uij) = E1iUtEj1定义的自由莱维过程(Jt)t≥0在t → ∞时收敛于自由哈尔迹，其中(Ut)t≥0为自由酉布朗运动。