[论文解读] Hadamard Products and Tilings

Jong‐Hyun Kim|arXiv (Cornell University)|Mar 3, 2009

graph theory and CDMA systems参考文献 6被引用 3

一句话总结

本文提出一种组合方法，利用铺砖模型推导出有理生成函数的Hadamard积的显式公式，特别针对形如 $\frac{1}{1-ax-x^2} \ast \frac{x^m}{1-bx-x^n}$ 的表达式。通过将Hadamard积建模为 $2\times n$ 矩形的加权铺砖，并将铺砖分解为素块，作者推导出闭式有理生成函数，推广了Shapiro早期关于切比雪夫多项式的结果，并将其扩展到非对称铺砖约束的情形。

ABSTRACT

Louis W. Shapiro gave a combinatorial proof of a bilinear generating function for Chebyshev polynomials equivalent to the formula 1/(1-ax-x^2) * 1/(1-bx-x^2) = (1-x^2)/(1-abx-(2+a^2+b^2)x^2 -abx^3+x^4), where * denotes the Hadamard product. In a similar way, by considering tilings of a 2 by n rectangle with 1 by 1 and 1 by 2 bricks in the top row, and 1 by 1 and 1 by n bricks in the bottom row, we find an explicit formula for the Hadamard product 1/(1-ax-x^2) * x^m/(1-bx-x^n).

研究动机与目标

• 将Shapiro对切比雪夫多项式双线性生成函数的组合证明推广至非对称铺砖设置。
• 通过铺砖分解，推导出Hadamard积 $\frac{1}{1-ax-x^2} \ast \frac{x^m}{1-bx-x^n}$ 的显式有理生成函数。
• 将MacMahon算子与Hadamard积框架推广至具有非均匀铺砖约束的有理函数。
• 从新的基于铺砖的形式体系中恢复并重新推导已知结果，如Han的恒等式。

提出的方法

• 将Hadamard积建模为 $2\times n$ 矩形的加权铺砖对，其中顶行使用权重为 $a$ 的 $1\times1$ 和 $1\times2$ 瓷砖，底行使用权重为 $b$ 的 $1\times1$ 和 $1\times n$ 瓷砖。
• 将素块定义为不可再分解的铺砖基本单元，并计算其生成函数 $P_n(x)$，以表示铺砖系统的递推结构。
• 使用MacMahon算子 $\Omega_{\geq}$ 从洛朗级数中提取非负次幂项，从而实现从铺砖分解推导生成函数。
• 分别对首块（初始铺砖段）和后续素块进行分类，导出形式为 $Q_{m,n}(x)/(1 - P_n(x))$ 的有理生成函数。
• 应用引理2.1中的恒等式，关联斐波那契型多项式：$f_{m-1}(a)f_{n-1}(a) - f_m(a)f_{n-2}(a) = (-1)^{\min(m-1,n-1)} f_{|m-n+1|-1}(a)$，以简化生成函数中的系数。
• 利用铺砖唯一分解为素块序列的性质，推导出Hadamard积的最终有理形式。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用组合铺砖模型显式计算Hadamard积 $\frac{1}{1-ax-x^2} \ast \frac{x^m}{1-bx-x^n}$？
• RQ2 在顶行以 $1\times m$ 砖块开始、底行使用 $1\times n$ 砖块的铺砖系统中，加权首块的生成函数是什么？
• RQ3 铺砖分解为素块和首块如何导致Hadamard积的有理闭式表达？
• RQ4 能否从该铺砖形式体系中恢复Han的恒等式涉及 $\Omega_{\geq}$？
• RQ5 当 $b=0$ 时，即底行仅含 $1\times1$ 瓷砖，生成函数的结构如何？

主要发现

• Hadamard积 $\frac{1}{1-ax-x^2} \ast \frac{x^m}{1-bx-x^n}$ 的表达式为 $\frac{f_m(a)x^m + b f_{m-1}(a)x^{m+1} + (-1)^{\min(m-1,n-1)} f_{|m-n+1|-1}(a) x^{m+n}}{1 - f_{n-2}(a)x^n}$，其中 $m \geq 1$，$n \geq 2$，分母已更正为 $1 - f_{n-2}(a)x^n$。
• 当 $b=0$ 时，公式简化为 $\sum_{k \geq 0} f_{m+nk}(a) x^{m+nk} = \frac{f_m(a)x^m + (-1)^{\min(m-1,n-1)} f_{|m-n+1|-1}(a) x^{m+n}}{1 - (f_n(a) + f_{n-2}(a))x^n + (-1)^n x^{2n}}$，为斐波那契型系数的等差数列提供了有理生成函数。
• 当 $m = qn + r$ 且 $0 < r < n$ 时，Hadamard积 $\frac{x^m}{1-ax-x^2} \ast \frac{1}{1-x^n}$ 为 $\frac{f_{n-r}(a)x^{(q+1)n} + (-1)^{n-r-1} f_{|r-1|-1}(a) x^{(q+2)n}}{1 - (f_n(a) + f_{n-2}(a))x^n + (-1)^n x^{2n}}$，$m = qn$ 时有单独情况。
• 该铺砖模型中首块的生成函数为有理函数，且基于素块分解的递推关系推导得出，使得整个Hadamard积可表示为有理函数。
• 该方法从推导出的 $1/(1-ax-x^2) \ast 1/(1-bx-x^3)$ 公式中恢复了Han的恒等式 $\Omega_{\geq} \frac{1}{(1-zx-zx^2)(1-y/x-y/x^2)} = \frac{1+z^2y}{(1-2z)(1-3zy-z^2y-zy^2)}$。
• 本文建立了一般框架：有理生成函数的Hadamard积对应于具有首块和素块序列的铺砖系统，通过 $Q_{m,n}(x)/(1 - P_n(x))$ 生成有理生成函数。