[论文解读] Hadamard spaces with isolated flats

G. Christopher Hruska, Bruce Kleiner|arXiv (Cornell University)|Nov 10, 2004

Geometric and Algebraic Topology参考文献 41被引用 56

一句话总结

本文证明了具有孤立平坦子空间的CAT(0)空间关于平坦子空间是相对双曲的，且在这些空间上几何作用的群是相对双曲的、双自动的，并满足Tits选择公理。关键贡献在于通过蒂茨边界为孤立点与标准欧氏球面的不相交并集来刻画孤立平坦子空间，从而为群作用带来强代数与几何不变量。

ABSTRACT

We explore the geometry of nonpositively curved spaces with isolated flats, and its consequences for groups that act properly discontinuously, cocompactly, and isometrically on such spaces. We prove that the geometric boundary of the space is an invariant of the group up to equivariant homeomorphism. We also prove that any such group is relatively hyperbolic, biautomatic, and satisfies the Tits Alternative. The main step in establishing these results is a characterization of spaces with isolated flats as relatively hyperbolic with respect to flats. Finally we show that a CAT(0) space has isolated flats if and only if its Tits boundary is a disjoint union of isolated points and standard Euclidean spheres. In an appendix written jointly with Hindawi, we extend many of the results of this article to a more general setting in which the isolated subspaces are not required to be flats.

研究动机与目标

• 通过几何与拓扑不变量来刻画具有孤立平坦子空间的CAT(0)空间。
• 建立此类空间关于平坦子空间是相对双曲的，从而将几何与群论性质联系起来。
• 证明此类空间的几何边界在等变同胚意义下是群不变量。
• 将结果推广至更广泛的几何空间类，其中孤立子空间为凸子空间而非平坦子空间。
• 证明CAT(0)空间的蒂茨边界具有孤立平坦子空间当且仅当其为孤立点与标准欧氏球面的不相交并集。

提出的方法

• 使用有界集上的Hausdorff收敛拓扑来定义CAT(0)空间中平坦子空间的集合。
• 通过在Γ-不变的平坦子空间族上施加闭、孤立且一致有界的管状邻域条件，引入孤立平坦子空间的概念。
• 通过蒂茨边界的结构来刻画孤立平坦子空间：每个连通分支要么是孤立点，要么是标准欧氏球面。
• 利用Morse性质与渐近锥分析，建立空间关于平坦子空间的相对双曲性。
• 对有限生成群应用Druştţu-Sapir提出的度量与群论意义下相对双曲性的等价关系。
• 通过广义孤立子空间条件将结果推广至一般闭凸子空间，证明相应的相对双曲性与边界不变性。

实验结果

研究问题

• RQ1 CAT(0)空间的何种几何条件可推出其等距群是相对双曲的？
• RQ2 蒂茨边界的结构如何与CAT(0)空间中孤立平坦子空间的存在性相关联？
• RQ3 孤立平坦子空间的性质能否超越平坦子空间推广至其他凸子空间，同时保持关键的群论后果？
• RQ4 具有孤立平坦子空间的CAT(0)空间的几何边界是否是作用群的拟等距不变量？
• RQ5 在何种条件下，几何作用于具有孤立平坦子空间的CAT(0)空间的群是双自动的或满足Tits选择公理？

主要发现

• CAT(0)空间具有孤立平坦子空间当且仅当其蒂茨边界是孤立点与标准欧氏球面的不相交并集。
• 具有孤立平坦子空间的CAT(0)空间的几何边界是作用群的拟等距不变量，且在等变同胚意义下唯一。
• 任何几何作用于具有孤立平坦子空间的CAT(0)空间的群，关于秩至少为二的阿贝尔子群是相对双曲的。
• 此类群是双自动的，并满足Tits选择公理，即每个有限生成子群要么是拟幂零的，要么包含非交换自由子群。
• 此类空间的渐近锥关于平坦子空间的渐近锥是树状叠加的，从而在大尺度上确认了相对双曲性。
• 在平坦子空间的管状邻域与交集直径满足温和几何条件的前提下，结果可推广至更广泛的几何空间类，其中孤立子空间为闭凸子空间而非必然是平坦子空间。