[论文解读] Hairer-Quastel universality in non-stationarity via energy solution theory

Kevin Yang|arXiv (Cornell University)|Oct 30, 2020

Stochastic processes and financial applications参考文献 27被引用 4

一句话总结

本文为具有广义连续初值的KPZ方程与随机Burgers方程建立了新颖的能量解理论，将先前仅限于平稳或Hölder正则初值的研究成果予以拓展。该研究证明了非线性项超出光滑函数类别的SPDE的普遍性，给出了在Wasserstein距离与相对熵意义下收敛至不变测度的显式收敛速率，并建立了对数Sobolev不等式，首次为奇异SPDE在连续初值条件下的内在解理论提供了完整框架。

ABSTRACT

The paper addresses probabilistic aspects of the KPZ equation and stochastic Burgers equation by providing a solution theory that builds on the energy solution theory Goncalves-Jara '14, Gubinelli-Jara '13, Gubinelli-Perkowski '18, Gubinelli-Perkowski '20. The perspective we adopt is to study the stochastic Burgers equation by writing its solution as a probabilistic solution Gubinelli-Perkowski '17 plus a term that can be studied with deterministic PDE considerations. One motivation is universality of KPZ and stochastic Burgers equations for a certain class of stochastic PDE growth models, first studied in Hairer-Quastel '18. For this, we prove universality for SPDEs with general nonlinearities, thereby extending Hairer-Quastel '18, Hairer-Xu '19, and for many non-stationary initial data, thereby extending Gubinelli-Perkowski '16. Our perspective lets us also prove explicit rates of convergence to white noise invariant measure of stochastic Burgers for non-stationary initial data, in particular extending the spectral gap result of Gubinelli-Perkowski '20 beyond stationary initial data, though for non-stationary data our convergence will be measured in Wasserstein distance and relative entropy, not via the spectral gap as in Gubinelli-Perkowski '20. Actually, we extend the spectral gap in Gubinelli-Perkowski '20 to a log-Sobolev inequality. Our methods can also analyze fractional stochastic Burgers equations; we discuss this briefly. Lastly, we note that our perspective on the KPZ and stochastic Burgers equations provides a first intrinsic notion of solutions for general continuous initial data, in contrast to Holder regular data needed for regularity structures, paracontrolled distributions, and Holder-regular Brownian bridge data for energy solutions.

研究动机与目标

• 将能量解理论从平稳或Hölder正则初值扩展至KPZ方程与随机Burgers方程的广义连续初值条件。
• 证明KPZ方程在广泛非线性项（包括非光滑函数如|x|）下的普遍性，超越正则结构理论的适用范围。
• 针对非平稳初值，利用Wasserstein距离与相对熵，建立收敛至白噪声不变测度的显式收敛速率。
• 将[23]中关于平稳初值的谱隙结果推广至非平稳初值情形的对数Sobolev不等式。
• 为具有任意连续初值的奇异SPDE提供首个内在解理论，避免对Hölder正则性或Brownian桥假设的依赖。

提出的方法

• 将随机Burgers方程的解形式化为概率解加上确定性校正项，从而可借助PDE方法进行分析。
• 通过SPDE族在一般非线性项F(ε^{1/2}∇g^ε)下的标度极限，于ε→0时恢复KPZ方程。
• 应用能量解理论处理SPDE的奇异性质，利用鞅与先验估计。
• 利用相对熵与Wasserstein距离量化非平稳初值下收敛至不变测度的过程。
• 利用连续映射下相对熵的压缩原理，控制路径空间测度并建立紧致性。
• 通过路径空间测度分解与熵界，将谱隙框架推广至非平稳初值情形的对数Sobolev不等式。

实验结果

研究问题

• RQ1 能量解理论能否被拓展以处理KPZ方程与随机Burgers方程的任意连续初值？
• RQ2 KPZ方程的普遍性是否对广义非线性项（包括非光滑函数如|x|）成立，而不仅限于光滑情形？
• RQ3 针对非平稳初值，能否建立收敛至白噪声不变测度的显式收敛速率？
• RQ4 能否将平稳初值下的谱隙结果推广至非平稳情形的对数Sobolev不等式？
• RQ5 是否存在首个针对连续初值的奇异SPDE的内在解理论，且不依赖Hölder正则性或Brownian bridge假设？

主要发现

• 本文为具有任意连续初值的KPZ方程与随机Burgers方程建立了完整的解理论，突破了正则结构与拟控分布理论对Hölder正则性的要求。
• 证明了广义非线性项（包括非光滑函数如F(x) = |x|）SPDE的普遍性，拓展了此前仅限于光滑F的研究成果。
• 针对非平稳初值，首次在Wasserstein距离与相对熵意义下获得收敛至白噪声不变测度的显式收敛速率，将[23]的谱隙结果推广至非平稳情形。
• 为具有非平稳初值的随机Burgers方程建立了对数Sobolev不等式，显著强化了谱隙结果。
• 该方法可推广至分数阶随机Burgers方程，表明其适用范围超越标准情形。
• 该框架首次为具有连续初值的奇异SPDE提供了内在解理论，无需依赖Brownian bridge或Hölder正则性假设。