[论文解读] Hall algebras and quantum symmetric pairs I: foundations

Ming Lu, Weiqiang Wang|arXiv (Cornell University)|Jan 31, 2019

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 47被引用 19

一句话总结

本文从具有对合的无环quiver构造了ıquiver代数，并为其构建了半导出Ringel-Hall代数，建立了其与有限型通用ı量子群之间的同构关系。本文还为这些Hall代数构造了单项基和PBW基，通过1-Gorenstein代数与倾斜理论，实现了ı量子群的Hall代数 categorification，关键结果包括Hall代数与ı量子群之间的同构关系，以及半导出Hall代数在倾斜变换下的不变性。

ABSTRACT

A quantum symmetric pair consists of a quantum group $\mathbf U$ and its coideal subalgebra ${\mathbf U}^{\imath}_{\boldsymbolς}$ with parameters $\boldsymbolς$ (called an $\imath$quantum group). We initiate a Hall algebra approach for the categorification of $\imath$quantum groups. A universal $\imath$quantum group $\widetilde{\mathbf U}^{\imath}$ is introduced and ${\mathbf U}^{\imath}_{\boldsymbolς}$ is recovered by a central reduction of $\widetilde{\mathbf U}^{\imath}$. The semi-derived Ringel-Hall algebras of the first author and Peng, which are closely related to semi-derived Hall algebras of Gorsky and motivated by Bridgeland's work, are extended to the setting of 1-Gorenstein algebras, as shown in Appendix A by the first author. A new class of 1-Gorenstein algebras (called $\imath$quiver algebras) arising from acyclic quivers with involutions is introduced. The semi-derived Ringel-Hall algebras for the Dynkin $\imath$quiver algebras are shown to be isomorphic to the universal quasi-split $\imath$quantum groups of finite type. Monomial bases and PBW bases for these Hall algebras and $\imath$quantum groups are constructed.

研究动机与目标

• 开发Hall代数方法以对ı量子群进行 categorification，推广Bridgeland对量子群的工作。
• 引入ıquiver代数作为一类源自具有对合的quiver的新1-Gorenstein代数。
• 将半导出Ringel-Hall代数推广至1-Gorenstein代数，推广先前在遗传范畴上的工作。
• 建立ıquiver代数的半导出Hall代数与有限型通用ı量子群之间的同构关系。
• 为Hall代数与ı量子群构造单项基与PBW基，提供 categorification 的代数结构。

提出的方法

• 通过具有对合的quiver的有界quiver描述，将ıquiver代数定义为张量代数。
• 证明ıquiver代数是1-Gorenstein，从而保证半导出Hall代数的存在性。
• 利用Z/2-graded复形与Euler形式，构造半导出Ringel-Hall代数。
• 使用倾斜理论，将ıquiver代数的Hall代数与导出等价代数的Hall代数联系起来。
• 通过中心化约化，建立ıquiver代数的半导出Hall代数与通用ı量子群之间的代数同构。
• 利用组合与同调数据，为Hall代数与ı量子群构造单项基与PBW基。

实验结果

研究问题

• RQ1 Hall代数能否被推广至1-Gorenstein代数，以对ı量子群进行 categorification？
• RQ2 ıquiver代数的半导出Ringel-Hall代数是否同构于有限型通用ı量子群？
• RQ3 在ıquiver代数与ı量子群的背景下，单项基与PBW基如何产生？
• RQ4 在1-Gorenstein设定下，倾斜理论是否保持半导出Hall代数的结构？
• RQ5 能否通过Hall代数构造的中心化约化恢复通用ı量子群？

主要发现

• Dynkin型ıquiver代数的半导出Ringel-Hall代数同构于有限型的通用拟分裂ı量子群。
• ıquiver代数的Hall代数 admits 一个以维数向量与相容旗为指标的单项基。
• 通过退化过程与Hall多项式，为ıquiver代数的Hall代数构造了PBW基。
• 引入了通用ı量子群eUı，并通过中心化约化恢复了Uıς。
• 半导出Hall代数在倾斜变换下保持不变：若A是1-Gorenstein代数，存在倾斜模T，且Γ = EndA(T)op也是1-Gorenstein，则SDH(A) ≅ SDH(Γ)。
• Hall代数与ı量子群之间的同构关系通过一个同态ψ̃实现，该同态将[M]映射为q^{-⟨M,TM⟩}[F(TM)]^{-1} ⋄ [F(XM])}，利用来自扭序对的短正合列。