[论文解读] Hamilton-Green solver for the forward and adjoint problems in photoacoustic tomography

Francesc Rul⋅lan, Marta M. Betcke|arXiv (Cornell University)|Oct 31, 2018

Photoacoustic and Ultrasonic Imaging参考文献 69被引用 4

一句话总结

本文提出了一种基于高频频段渐近法的Hamilton-Green（HG）求解器，通过沿哈密顿射线轨迹近似格林函数，用于求解光声计算机断层成像（PAT）中的正向与伴随波方程。该方法实现了高效、与传感器无关的计算，在2D非均质介质（声速变化）中与k-Wave模拟相比，显著提升了计算速度，即使在焦散区域也能保持高精度。

ABSTRACT

The majority of the solvers for the acoustic problem in Photoacoustic Tomography (PAT) rely on full solution of the wave equation which makes them less suitable for real-time and dynamic applications where only partial data is available. This is in contrast to other tomographic modalities, e.g. X-ray tomography, where partial data implies partial cost for the application of the forward and adjoint operators. In this work we present a novel solver for the forward and adjoint wave equations for the acoustic problem in PAT. We term the proposed solver Hamilton-Green as it approximates the fundamental solution to the respective wave equation along the trajectories of the Hamiltonian system resulting from the high frequency asymptotics for the wave equation. This approach is fast and scalable in the sense that it allows computing the solution for each sensor independently at a fraction of the cost of the full wave solution. The theoretical foundations of our approach are rooted in results available in seismics and ocean acoustics. We present results for 2D numerical phantom with heterogeneous sound speed which we evaluate against a full wave solution obtained with a pseudospectral method implemented in k-Wave toolbox.

研究动机与目标

• 为解决全波求解器在PAT中计算效率低下的问题，特别是在部分或稀疏数据下的实时与动态应用中。
• 开发一种可扩展、与传感器无关的正向与伴随波方程求解器，避免完整波场计算。
• 通过基于射线追踪与哈密顿动力学的高频频段渐近近似，实现PAT中声学问题的精确求解。
• 处理如焦散与聚焦透镜等复杂特征，这些特征在非均质介质中会导致标准射线方法因振幅发散而失效。
• 为迭代重建与变分方法提供一种数值稳定且高效的全波求解器替代方案。

提出的方法

• Hamilton-Green求解器通过追踪高频频段渐近解的哈密顿系统所导出的轨迹，近似波方程的基本解。
• 利用射线振幅调制射线映射的雅可比行列式行列式计算格林函数，并引入正则化以避免在焦散处出现奇异性。
• 在伴随问题中使用时间反向源，通过射线将传感器数据反向传播，以重构初始压力分布。
• 求解器采用平滑截断函数限制积分的时间窗口，确保与实际测量约束的兼容性。
• 通过在射线管行列式 |q(t; x₀)| < ε 时将射线振幅设为零来处理焦散，并利用 |q| 补偿坐标系反转的影响。
• 该方法在2D中实现，每个传感器固定使用一定数量的射线，支持各传感器独立计算，实现可扩展性。

实验结果

研究问题

• RQ1 基于射线追踪的高频频段渐近方法是否能在非均质介质中实现PAT正向与伴随波方程的精确且高效求解？
• RQ2 在射线振幅发散、标准射线方法失效的焦散区域，Hamilton-Green求解器表现如何？
• RQ3 与k-Wave等全波求解器相比，该求解器在有限视角与动态PAT场景中，能否在保持精度的同时显著降低计算成本？
• RQ4 在焦散处对射线振幅进行正则化，对传感器处重建压力信号的精度有何影响？
• RQ5 鉴于其高效的逐传感器计算与精确的伴随映射，该求解器是否可有效用于迭代重建框架？

主要发现

• Hamilton-Green求解器在声速非均质的2D区域中实现了精确的正向与伴随求解，包括产生焦散的声学透镜聚焦射线的情况。
• 对于位于焦散之前的初始压力，HG求解器与k-Wave解高度吻合，误差极小。
• 最大误差出现在焦散处的初始压力，原因是当 |q(t; x₀)| < ε 时射线振幅被正则化为零，破坏了相位连续性。
• 在焦散之后，误差减小但仍存在，因为求解器未完全考虑与焦散形成相关的复相位跃迁 exp(−im(t)π/2)。
• 该方法成功处理了射线聚焦与透镜周围的弯曲，外侧射线不受焦散影响，并通过振幅正则化保持了数值稳定性。
• 与全波求解器相比，求解器展现出显著的计算优势，实现了远低于全波方法成本的逐传感器独立计算。