[论文解读] Hamilton-Jacobi equations from mean-field spin glasses

Hongbin Chen, Jiaming Xia|arXiv (Cornell University)|Jan 30, 2022

Theoretical and Computational Physics被引用 5

一句话总结

本文为平均场自旋玻璃模型中出现的哈密顿-雅可比方程建立了粘性解框架，通过比较原理和有限维近似收敛性证明了适定性。结果表明，霍普夫-拉克斯公式解与近似解的极限均为粘性解，解决了自旋玻璃自由能理论中的内在公式化问题。

ABSTRACT

We give a meaning to the Hamilton--Jacobi equation arising from mean-field spin glass models in the viscosity sense, and establish the corresponding well-posedness. Originally defined on the set of monotone probability measures, these equations can be interpreted, via an isometry, to be defined on an infinite-dimensional closed convex cone with an empty interior in a Hilbert space. We prove the comparison principle, and the convergence of finite-dimensional approximations furnishing the existence of solutions. Under additional convexity conditions, we show that the solution can be represented by a version of the Hopf--Lax formula, or the Hopf formula on cones. Previously, two notions of solutions were considered, one defined directly as the Hopf--Lax formula, and another as limits of finite-dimensional approximations. They have been proven to describe the limit free energy in a wide class of mean-field spin glass models. This work shows that these two kinds of solutions are viscosity solutions.

研究动机与目标

• 为平均场自旋玻璃模型中的哈密顿-雅可比方程提供一种内在的、基于粘性解的解定义，避免人为构造。
• 通过证明比较原理并建立粘性意义下的解的存在性，确立该方程的适定性。
• 证明两种现有解概念——霍普夫-拉克斯公式与有限维近似极限——均等价于粘性解。
• 通过将具有空内部的闭凸锥等距嵌入希尔伯特空间，处理无限维设定。
• 在凸性条件下验证解具有变分表示，与巴黎西公式相联系。

提出的方法

• 通过等距映射将具有有限二阶矩的单调概率测度空间嵌入希尔伯特空间中的闭凸锥，从而实现弗雷chet导数。
• 在该无限维锥上定义哈密顿-雅可比方程为 ∂tf − H(∇f) = 0，其中 H 为非线性、单调泛函。
• 在不施加边界条件的情况下，基于对偶锥上 H 的单调性，证明粘性解的比较原理。
• 通过量化比较原理，利用有限维近似解的收敛性建立存在性。
• 在凸性假设下，通过霍普夫-拉克斯公式表示解，与自旋玻璃理论中已知的变分公式相联系。
• 利用芬赫尔-莫拉奥对偶性及凸锥的性质，验证解泛函的双共轭可恢复原始解。

实验结果

研究问题

• RQ1 平均场自旋玻璃中的哈密顿-雅可比方程能否在粘性意义下获得严格、内在的解定义？
• RQ2 在具有空内部的无限维锥上，该方程的比较原理是否成立？
• RQ3 两种现有解概念——霍普夫-拉克斯公式与有限维近似极限——是否均等价于粘性解？
• RQ4 在凸性条件下，解能否通过变分公式（如霍普夫公式）表示？
• RQ5 粘性解框架是否与自旋玻璃模型中已知的自由能极限相容？

主要发现

• 在具有有限二阶矩的单调概率测度的无限维锥上，哈密顿-雅可比方程的粘性解框架是适定的。
• 由于哈密顿量沿对偶锥的单调性，比较原理在无需边界条件的情况下成立。
• 通过霍普夫-拉克斯公式定义的解与作为有限维近似极限的解，均为粘性解。
• 在哈密顿量凸性条件下，解在锥上可通过霍普夫公式表示。
• 解是有限维近似解的极限，证实了与先前基于近似方法的一致性。
• 解泛函的双共轭可恢复原始解，确认了无限维设定下的对偶性一致性。