[论文解读] Hamilton-Pontryagin Integrators on Lie Groups: Introduction and Structure-Preserving Properties

Nawaf Bou‐Rabee, Jerrold E. Marsden|ArXiv.org|Jan 7, 2008

Numerical methods for differential equations参考文献 39被引用 9

一句话总结

该论文通过使用Runge-Kutta-Milstein-Kaas (RKMK) 方法对哈密顿-庞特里亚金变分原理进行离散化，提出了一类新型的在李群上的变分分区Runge-Kutta (VPRK)积分器。该方法将辛欧拉法和Störmer-Verlet积分器推广至李群，保持动量映射和辛结构，相较于能量或动量守恒方法，展现出更优的长期稳定性和精度。

ABSTRACT

In this paper structure-preserving time-integrators for rigid body-type mechanical systems are derived from a discrete Hamilton-Pontryagin variational principle. From this principle one can derive a novel class of variational partitioned Runge-Kutta methods on Lie groups. Included among these integrators are generalizations of symplectic Euler and Störmer-Verlet integrators from flat spaces to Lie groups. Because of their variational design, these integrators preserve a discrete momentum map (in the presence of symmetry) and a symplectic form. In a companion paper, we perform a numerical analysis of these methods and report on numerical experiments on the rigid body and chaotic dynamics of an underwater vehicle. The numerics reveal that these variational integrators possess structure-preserving properties that methods designed to preserve momentum (using the coadjoint action of the Lie group) and energy (for example, by projection) lack.

研究动机与目标

• 为具有保证几何性质的李群上的机械系统开发保持几何结构的时间积分器。
• 解决在非平坦配置空间上使用变分原理离散化运动学约束的挑战。
• 将辛和变分积分器（例如Störmer-Verlet、辛欧拉法）从平坦空间推广至李群。
• 通过变分设计确保在对称性下动量映射和辛结构的保持。
• 为第二部分中刚体和水下航行器的数值分析与实验提供基础。

提出的方法

• 在李群上构建左平凡化哈密顿-庞特里亚金作用原理，统一左不变拉格朗日量下的欧拉-庞加莱和李-泊松动力学。
• 使用s阶Runge-Kutta-Munthe-Kaas (RKMK) 方法对运动学约束进行离散化，以处理群值轨迹。
• 通过Butcher表格系数将加权拉格朗日量与动量配对的运动学约束结合，构造离散作用和。
• 将得到的变分分区Runge-Kutta (VPRK) 积分器作为离散欧拉-拉格朗日方程的解推导得出。
• 利用伴随表示和余伴作用表达动量映射演化，并验证守恒性质。
• 通过Padé逼近和投影算子（如SO(n)的反对称化）在离散更新中保持群成员资格。

实验结果

研究问题

• RQ1 哈密顿-庞特里亚金变分原理能否推广以在李群上构造保持结构的积分器？
• RQ2 如何使用Runge-Kutta方法对李群上的运动学约束进行离散化，同时保持几何结构？
• RQ3 所得的VPRK积分器是否保持辛性与动量映射？其性能是否优于标准的能量或动量守恒方法？
• RQ4 这些积分器的精度阶数是多少？其与底层变分结构的关系如何？
• RQ5 在非可逆系统（如转盘上的刚体）中，这些积分器相较于对称积分器的表现如何？

主要发现

• 所提出的VPRK积分器在对称性下同时保持辛形式与动量映射，确保长期稳定性。
• 该方法通过在群的切丛上采用变分公式，将辛欧拉法和Störmer-Verlet积分器推广至李群。
• 离散作用和通过Butcher表格系数与重建方程的RKMK离散化构造而成。
• 动量映射演化被推导为李-泊松括号的离散版本，其守恒性通过伴随作用得到验证。
• 积分器达到二阶精度，其精度阶数已通过变分法证明（Marsden & West, 2001）。
• 第二部分的数值实验表明，与能量或动量守恒方法相比，该方法在混沌动力学和非可逆系统中表现更优。