[论文解读] Hamilton-Pontryagin Integrators on Lie Groups Part I: Introduction & Structure-Preserving Properties

Nawaf Bou‐Rabee, Jerrold E. Marsden|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2013

Numerical methods for differential equations参考文献 33被引用 9

一句话总结

本文提出了一类基于离散哈密顿-庞特里亚金变分原理的新型变分积分器，适用于李群上的刚体类系统。这些保持结构的积分器同时保持离散动量映射与辛形式，在刚体和水下航行器的数值实验中，其性能优于仅保持能量或动量的方法。

ABSTRACT

In this paper structure-preserving time-integrators for rigid body-type mechanical systems are derived from a discrete Hamilton-Pontryagin variational principle. From this principle one can derive a novel class of variational partitioned Runge-Kutta methods on Lie groups. Included among these integrators are generalizations of symplectic Euler and Stormer-Verlet integrators from flat spaces to Lie groups. Because of their variational design, these integrators preserve a discrete momentum map (in the presence of symmetry) and a symplectic form. In a companion paper, we perform a numerical analysis of these methods and report on numerical experiments on the rigid body and chaotic dynamics of an underwater vehicle. The numerics reveal that these variational integrators possess structure-preserving properties that methods designed to preserve momentum (using the coadjoint action of the Lie group) and energy (for example, by projection) lack.

研究动机与目标

• 开发适用于李群上机械系统的保持结构的时间积分器，特别是刚体动力学。
• 解决现有方法仅分别保持动量或能量，但无法同时保持两种几何结构的局限性。
• 从离散哈密顿-庞特里亚金变分原理推导积分器，确保内在的几何一致性。
• 为推广到非平坦、弯曲配置空间的变分积分器建立理论基础，使其推广经典的一般辛欧拉法与斯特默-维尔特方法。

提出的方法

• 通过在李群上构建的离散哈密顿-庞特里亚金变分原理推导时间积分器。
• 构造一类新型的变分分区Runge-Kutta方法，使其尊重系统的群结构与几何特性。
• 通过变分原理在李群的伴随作用下的对称性，确保离散动量映射的保持。
• 通过变分公式构造，确保在离散设置下保持辛结构。
• 通过变分框架将经典积分器如辛欧拉法与斯特默-维尔特方法推广至弯曲配置空间。
• 利用离散变分原理推导与李群上基本力学一致的更新规则。

实验结果

研究问题

• RQ1 在李群上的变分积分器能否像现有方法一样，同时保持动量与辛结构？
• RQ2 在长时间模拟中，这些积分器的保持结构特性与仅保持能量或动量的方法相比如何？
• RQ3 这些积分器在多大程度上将经典辛积分器（如辛欧拉法与斯特默-维尔特方法）推广至非欧几里得配置空间？
• RQ4 离散哈密顿-庞特里亚金原理在确保李群上几何一致性方面起什么作用？
• RQ5 在复杂动力学（如水下航行器的混沌运动）中，这些积分器的表现如何？

主要发现

• 由于在李群上的变分设计，所提出的积分器同时保持了离散动量映射与辛形式。
• 在刚体上的数值实验表明，与仅保持能量或动量的方法相比，其长期稳定性和几何保真度更优。
• 对于水下航行器的混沌动力学，变分积分器比投影法或动量保持方法更有效地维持结构。
• 这些积分器将辛欧拉法与斯特默-维尔特方法推广至李群，扩展了其在非平坦机械系统中的适用性。
• 保持结构的特性源于变分公式本身，而非人为施加，因此在复杂动力学中表现出更优的数值性能。