[论文解读] Hamilton Variational Principle for Statistical Ensemble of Deterministic Systems and its Application for Ensemble of Stochastic Systems

Yuri A. Rylov|ArXiv.org|Nov 12, 2000

Quantum Mechanics and Applications参考文献 14被引用 9

一句话总结

本文推导出一个确定性系统统计系综的哈密顿变分原理，通过波函数表达动力学，从而实现对随机系统的统计描述。关键结果表明，在特定条件下，该描述与薛定谔方程一致，暗示量子力学可能源自具有特定随机能量项的随机粒子运动的统计力学。

ABSTRACT

Hamilton variational principle for special type of statistical ensemble of deterministic dynamical systems is derived. Thie form of variational principle allows one to describe the statistical ensemble in terms of wave functions and provides a basis for a description of statistical ensemble of stochastic systems. It is shown that sometimes such a statistical description of stochastic particle motion appears to coincide with the quantum description in terms of Schroedinger equation.

研究动机与目标

• 为使用波函数形式的确定性动力系统统计系综发展一个变分原理。
• 将此形式化方法扩展至通过确定性元素的纯统计系综描述随机系统。
• 研究在何种条件下，随机运动的统计描述可重现薛定谔方程。
• 从统计系综中随机能量贡献的角度，阐明量子行为的物理起源。

提出的方法

• 为一个纯统计系综的确定性系统推导出哈密顿变分原理，其中状态由分布函数 $ F_p(t, \mathbf{x}, \mathbf{p}) = \rho(t, \mathbf{x}) \delta(\mathbf{p} - \mathbf{P}(t, \mathbf{x})) $ 描述。
• 以刘维尔方程为起点，推导出 $ \rho $ 和 $ \mathbf{P} $ 的连续性方程和欧拉型方程。
• 引入波函数 $ \psi $，使得 $ \rho = \psi^* \psi $，并基于 $ \psi $ 和 $ \psi^* $ 构造作用量泛函。
• 推导出一个包含随机能量项 $ \frac{\hbar^2}{8m} \frac{(\nabla \rho)^2}{\rho} $ 的非线性作用量泛函 $ \mathcal{A}_E[\psi, \psi^*] $，当 $ b_0 = \hbar $ 时，该项成为量子势。
• 表明当 $ b_0 = \hbar $ 时，非线性作用量转化为标准的薛定谔作用量，经相位变换后得到线性薛定谔方程。
• 证明不确定性原理自然源于随机能量对密度梯度的依赖性，其中 $ \Delta p \sim \hbar / \delta x $。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为使用波函数形式的确定性系统统计系综建立一个变分原理？
• RQ2 在何种条件下，随机系统的统计描述可简化为薛定谔方程？
• RQ3 从随机运动能量的角度，量子势的物理起源是什么？
• RQ4 线性薛定谔方程如何从非线性统计描述中涌现？
• RQ5 为何不确定性原理源于作用量中随机能量项的结构？

主要发现

• 纯统计系综的哈密顿变分原理导致一个非线性作用量泛函，描述具有随机分量的确定性粒子运动。
• 当积分常数 $ b_0 $ 设为 $ \hbar $ 时，非线性作用量简化为标准的薛定谔作用量，对自由粒子产生线性薛定谔方程。
• 随机能量项 $ \frac{\hbar^2}{8m} \frac{(\nabla \rho)^2}{\rho} $ 负责产生类似量子的行为，包括不确定性原理的出现。
• 不确定性关系 $ \Delta p \sim \hbar / \delta x $ 自然地源于高密度梯度区域中随机能量密度的发散。
• 薛定谔方程的线性并非根本性，而是特定随机能量项选择与无旋流的后果，该结论可能不适用于完全相对论性或旋转对称的情况。
• 作用量 (4.21) 清晰地分离了经典与量子项，通过设 $ \hbar = 0 $ 可明确获得经典极限；而作用量 (4.22) 由于所有项中均含 $ \hbar $，掩盖了这种分离。