[论文解读] Hamiltonian decomposition and verifying vertex adjacency in 1-skeleton of the traveling salesperson polytope by variable neighborhood search

Andrei V. Nikolaev, Anna Kozlova|arXiv (Cornell University)|Jan 14, 2020

Advanced Graph Theory Research参考文献 39被引用 7

一句话总结

本文提出一种通用变邻域搜索（GVNS）算法，用于求解四正则多重图中的哈密顿分解问题，该问题用于验证对称与非对称旅行商 polytope 的 1-骨架中顶点的非邻接性。该方法将环覆盖检测问题转化为完美匹配问题，并采用迭代邻域扰动与下降策略，在成功率和计算速度方面均优于以往的模拟退火方法，尤其在金字塔型巡回中表现显著：对无向图实现了 100% 的求解率，对有向图实现了 94.4% 的求解率。

ABSTRACT

We consider a Hamiltonian decomposition problem of partitioning a regular graph into edge-disjoint Hamiltonian cycles. A sufficient condition for vertex adjacency in the 1-skeleton of the traveling salesperson polytope can be formulated as the Hamiltonian decomposition problem in a 4-regular multigraph. We introduce a heuristic general variable neighborhood search algorithm for this problem based on finding a vertex-disjoint cycle cover of the multigraph through reduction to perfect matching and several cycle merging operations. The algorithm has a one-sided error: the answer "not adjacent" is always correct, and was tested on random directed and undirected Hamiltonian cycles and on pyramidal tours.

研究动机与目标

• 开发一种启发式算法，用于求解由两个哈密顿回路并集生成的四正则多重图中的哈密顿分解问题。
• 将该分解方法应用于基于已知充分条件，验证 TSP 与 ATSP polytope 1-骨架中顶点的非邻接性。
• 在无向图与有向图上，相较于以往的模拟退火方法，在成功率与计算效率方面实现改进。
• 在随机哈密顿回路与构造上保证非邻接性的合成金字塔型巡回实例上评估性能。

提出的方法

• 该算法采用通用变邻域搜索（GVNS）元启发式方法，结合三种不同的邻域结构以探索解空间。
• 将问题建模为在四正则多重图中寻找顶点不相交的环覆盖，通过构造装置（gadget）将搜索问题转化为完美匹配问题。
• 对于无向图，每个顶点被替换为一个 K4,2 装置，以将环覆盖问题转化为导出图中的完美匹配问题。
• 对于有向图，采用类似的基于装置的变换，将 2-入、2-出的环覆盖建模为完美匹配。
• 通过变邻域下降（VND）进行迭代邻域下降，采用两种顺序：VND-12（先使用邻域 1，再使用邻域 2）与 VND-21（先使用邻域 2，再使用邻域 1），以提升局部搜索效率。
• 确保单边错误：若算法返回“不邻接”，则结果始终正确；否则，顶点“可能邻接”。

实验结果

研究问题

• RQ1 启发式 GVNS 算法能否有效求解由两个哈密顿回路生成的四正则多重图中的哈密顿分解问题？
• RQ2 在 TSP 与 ATSP polytope 的顶点非邻接性测试中，GVNS 算法相较于以往的模拟退火方法，在成功率与运行时间方面表现如何？
• RQ3 该算法在合成实例（如金字塔型巡回）上的表现如何，这些实例在构造上保证了非邻接性？
• RQ4 VND 中邻域探索的顺序是否显著影响性能？哪种顺序能获得更优结果？

主要发现

• 对于无向随机哈密顿回路，GVNS 成功求解了 1,000 个实例中的 203 个，显著优于模拟退火方法，且通过 McNemar 检验显示统计显著性提升（p < 1e-6）。
• 对于有向随机回路，GVNS 成功求解 203 个实例，而 SA 仅求解 157 个，且 GVNS 在 VND-12 情况下平均运行速度比 SA 快 5 倍。
• 对于无向金字塔型巡回，GVNS 在时间限制内成功求解全部 1,000 个实例，而 SA 仅求解 9 个，显示出显著的性能差距。
• 对于有向金字塔型巡回，GVNS 成功求解 944 个实例（VND-12 求解 483 个，VND-21 求解 410 个），尽管实例规模较大，仍表现出强劲性能。
• 在无向图中，VND-12 平均比 VND-21 快 6 倍；在有向图中，VND-12 平均比 VND-21 快 10 倍，表明邻域探索顺序对效率有显著影响。
• 该算法的单边错误机制确保了在报告“不邻接”时结果的正确性，使其在多面体组合数学的非邻接性验证中具有高度可靠性。