[论文解读] Hamiltonian degree sequences in digraphs

Daniela Kühn, Deryk Osthus+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 11, 2008

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 12被引用 6

一句话总结

本文通过证明：对于任意 $\eta > 0$，满足特定出度与入度序列条件（即 $d^{+}_{i} \geq i + \eta n$ 或 $d^{-}_{n-i-\eta n} \geq n-i$，且对入度对称成立）的足够大的有向图必定包含哈密顿圈，从而提供了对 Nash-Williams 关于有向图哈密顿性猜想的近似解。该结果通过进一步证明此类有向图是泛圈的（即包含长度从 2 到 $n$ 的所有长度的圈）而得到加强。

ABSTRACT

We show that for each η>0 every digraph G of sufficiently large order n is Hamiltonian if its out- and indegree sequences d^+_1\le ... \le d^+_n and d^- _1 \le ... \le d^-_n satisfy (i) d^+_i \geq i+ ηn or d^-_{n-i- ηn} \geq n-i and (ii) d^-_i \geq i+ ηn or d^+_{n-i- ηn} \geq n-i for all i < n/2. This gives an approximate solution to a problem of Nash-Williams concerning a digraph analogue of Chvátal's theorem. In fact, we prove the stronger result that such digraphs G are pancyclic.

研究动机与目标

• 解决 Nash-Williams 长期以来关于有向图版本的 Chvátal 定理在哈密顿圈方面的猜想。
• 基于有序出度与入度序列，为大有向图提供一个哈密顿性的充分条件。
• 证明相同的条件不仅能保证哈密顿性，还能保证泛圈性。
• 通过引入一个微小误差项 $\\eta n$ 来放宽度阈值，从而提供该猜想的近似解。
• 通过极值构造证明，该度条件在渐近意义下是最优的。

提出的方法

• 使用正规化方法与爆炸引理，将问题约化为最小半度有界的缩减有向图。
• 应用强扩张性质，确保有向图在边被删除后仍保持强连通性和扩张性。
• 利用正规化引理从顶点划分构造缩减有向图 $R^*$，确保簇之间为正则对。
• 通过移除与许多簇连接不良的顶点来修改例外集 $V_0$，从而保持最小半度。
• 利用修改后有向图 $G^*$ 具有高最小半度和强扩张性的事实，应用定理 16 找到哈密顿圈。
• 通过结构与扩张性论证，证明泛圈性：相同条件可确保所有长度 $t = 2,\\dots, n$ 的圈存在。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否同时使用出度与入度序列，建立有向图版本的 Chvátal 定理？
• RQ2 是否可能在渐近接近 Nash-Williams 猜测阈值的度序列条件下，证明大有向图的哈密顿性？
• RQ3 是否保证哈密顿性的相同度条件也能保证泛圈性？
• RQ4 能否结合强扩张性与正规化方法，证明在放宽度约束下有向图中哈密顿圈的存在性？
• RQ5 是否可通过极值构造证明，该猜想中的度条件在渐近意义下是最优的？

主要发现

• 对每个 $\\eta > 0$，存在 $n_0(\\eta)$，使得所有满足度序列条件的 $n \geq n_0$ 个顶点的有向图均为哈密顿图。
• 相同条件可保证有向图为泛圈图，即包含长度从 2 到 $n$ 的所有长度的圈。
• 结果在渐近意义下是最优的，极值构造表明：若在第 $k$ 个位置将度条件放宽一个单位，则哈密顿性将被破坏。
• 证明了 Nash-Williams 猜想的近似版本，其中将阈值 $i+1$ 替换为 $i + \\eta n$（$\eta > 0$ 为小量）。
• 移除少于 $(n-1)/2$ 条边的正则有向图仍包含哈密顿圈，从而对大 $n$ 确认了一个猜想。
• 证明依赖于强扩张性与正规化方法，表明高最小半度与扩张性可推出大有向图的哈密顿性。