[论文解读] Hamiltonian dynamics of extended objects: Regge-Teitelboim model

Riccardo Capovilla, Alberto Escalante+2 more|arXiv (Cornell University)|Mar 30, 2006

Cosmology and Gravitation Theories参考文献 1被引用 8

一句话总结

本文通过将广义相对论性扩展物体的Regge-Teitelboim模型视为一种'伪'高阶导数理论，通过相空间扩展，提出了一种新颖的多项式哈密顿量形式。该方法引入了速度及其共轭动量的辅助变量，使得尽管作用量在加速度上为线性，但哈密顿量在相空间变量中仍为多项式。关键贡献在于完整的一组约束——第一类与第二类——使得规范量子化成为可能，并揭示了每个法向方向对应一个物理自由度，与Nambu-Goto模型一致。

ABSTRACT

We consider the Regge-Teitelboim model for a relativistic extended object embedded in a fixed background Minkowski spacetime, in which the dynamics is determined by an action proportional to the integral of the scalar curvature of the worldvolume spanned by the object in its evolution. In appearance, this action resembles the Einstein-Hilbert action for vacuum General Relativity: the equations of motion for both are second order; the difference is that here the dynamical variables are not the metric, but the embedding functions of the worldvolume. We provide a novel Hamiltonian formulation for this model. The Lagrangian, like that of General Relativity, is linear in the acceleration of the extended object. As such, the model is not a genuine higher derivative theory, a fact reflected in the order of the equations of motion. Nevertheless, as we will show, it is possible as well as useful to treat it as a `fake' higher derivative system, enlarging the phase space appropriately. The corresponding Hamiltonian on this phase space is constructed: it is a polynomial. The complete set of constraints on the phase space is identified. The fact that the equations of motion are of second order in derivatives of the field variables manifests itself in the Hamiltonian formulation through the appearance of additional constraints, both primary and secondary. These new constraints are second class. In this formulation, the Lagrange multipliers implementing the primary constraints get identified as accelerations. This is a generic feature of any Lagrangian linear in the acceleration possessing reparametrization invariance.

研究动机与目标

• 为Regge-Teitelboim模型开发一种哈密顿量形式，其结果为多项式哈密顿量，以克服先前非多项式形式的局限性。
• 通过扩展相空间以包含速度及其共轭动量，解决构造一个在加速度上为线性但并非真正高阶导数理论的规范框架的挑战。
• 在扩展相空间中识别并分类完整的约束集合——初级、次级、第一类与第二类。
• 通过提供一个明确定义的多项式哈密顿量和一致的约束代数，使该模型的规范量子化成为可能。
• 证明物理自由度与Nambu-Goto模型一致，每个法向方向对应一个自由度，尽管其动力学起源不同。

提出的方法

• 相空间被扩展，不仅包含嵌入函数 $X$ 及其共轭动量 $P$，还包含速度 $\dot{X}$ 及其共轭动量 $p$，将系统视为高阶导数理论。
• 通过一种修正的勒让德变换构造哈密顿量，该变换考虑了作用量对加速度的线性依赖性，从而得到扩展相空间变量的多项式泛函。
• 通过勒让德变换引入初级约束，拉格朗日乘子被识别为加速度 $\ddot{X}$，反映了作用量中对加速度的线性依赖性。
• 次级约束通过初级约束在时间演化下的相容性产生，详细分析表明存在第一类与第二类约束。
• 通过将约束投影到基 $ {\dot{X}, X_A, n^i}$ 上分析约束代数，揭示 $\{\mathcal{S}_0, \mathcal{S}_A, \mathcal{C}_0, \mathcal{C}_A\}$ 为第一类，而 $\{\mathcal{S}_i, \mathcal{C}_i\}$ 为第二类。
• 应用狄拉克算法处理第二类约束，确保一致性并实现物理自由度的计数。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为Regge-Teitelboim模型构造出一个多项式哈密顿量形式，尽管其作用量在加速度上为线性且并非真正的高阶导数理论？
• RQ2 在扩展相空间形式中，约束——初级、次级、第一类与第二类——如何产生并组织结构？
• RQ3 该理论的物理内容是什么，其自由度与Nambu-Goto模型相比如何？
• RQ4 哈密顿量形式中的拉格朗日乘子如何与膜的物理加速度相关联？
• RQ5 能否通过一致的多项式哈密顿量和约束代数，使RT模型的规范结构适合于量子化？

主要发现

• 哈密顿量在扩展相空间变量中显式为多项式，相较于先前产生非多项式哈密顿量的形式，这是一个显著改进。
• 初级约束被识别为 $P \cdot \dot{X} = 0$ 和 $P \cdot X_A = 0$，此外还出现了来自加速度依赖性的附加约束 $P \cdot n^i + \frac{\sqrt{h}}{N}(n^i \cdot \mathcal{D}_A \mathcal{D}^A X) = 0$。
• 哈密顿量中的拉格朗日乘子 $\lambda$ 被识别为加速度 $\ddot{X}$，确认了尽管形式上类似高阶导数理论，该理论仍为二阶理论。
• 约束代数包含第一类与第二类约束：$\{\mathcal{S}_0, \mathcal{S}_A, \mathcal{C}_0, \mathcal{C}_A\}$ 为第一类，而 $\{\mathcal{S}_i, \mathcal{C}_i\}$ 为第二类。
• 物理自由度的计数结果为每个法向方向 $D - d - 1$ 个，与Nambu-Goto模型一致，证实每个法向方向对应一个物理自由度。
• 哈密顿方程重现了运动方程，其中 $\partial_t \dot{X} = \ddot{X} = \lambda$ 将乘子识别为加速度，动量约束恢复为规范形式 $p \cdot \dot{X} = 0$。